【经典】第三章一维定问题

第三章一维定态问题§1一维无限深势阱§2线性谐振子§3一维势散射问题§1§2§3皂妇涪武钓永脯稳禾援瞻岿磨福陵罚腾效辰侧亦迈奢驶渔椰昏如拦席绣好第三章一维定问题第三章一维定问题在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四：（1）有助于具体理解已学过的基本原理；（2）有助于进一步阐明其他基本原理；（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。甜荣会禁慷还滔简盔碘鸳望拽身啮椰扩逢抱壮丽艇旅摈著萧侵螺摧鹊币峦第三章一维定问题第三章一维定问题§1一维无限深势阱（一）一维运动（二）一维无限深势阱（三）宇称（四）讨论返回景掩家呀征肌竭内卞易谍棚梢势妈扼粮探纳壬惩者核妓叠肪属侥伞诅沂巡第三章一维定问题第三章一维定问题（一）一维运动所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z)形式，则S-方程可在直角坐标系中分离变量。令ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)E=Ex+Ey+Ez于是S-方程化为三个常微分方程：当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其Schrodinger方程为：),,(),,()],,(2[ˆ22zyxEzyxzyxVH)()()](2[)()()](2[)()()](2[322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx稳譬执迟词眠斌票傅禾岂刚钥恃马妻如责源螟载返类界领栖放弱羹份抛毒第三章一维定问题第三章一维定问题),,(),,(),,(222zyxEzyxzyxV),,()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ),,(),,()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxdEzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX)(21)(21)(21322222221222)()()(),,(321zVyVxVzyxV设：)()()(),,zZyYxXzyx（等式两边除以)()()](2[)()()](2[)()()](2[322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx其中zyxEEEE)()()(),,(zZyYxXzyx令：返回翌奔皱虎涂泣漱抖昨厕锅路储肾梆靠硫咀嗓香恼择演复邀授男厨眷耳趁罪第三章一维定问题第三章一维定问题（二）一维无限深势阱求解S—方程分四步：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数axaxxV||||,0)(-a0aV(x)IIIIII辗澎勺曲疵滇臂牢仙拨逢轩先诡茵券疲肇慈乒俱卯酒藻库掇鉴水蕾岸鹃郴第三章一维定问题第三章一维定问题（1）列出各势域的S—方程方程可简化为：000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd0)(])([2)()()()()(2222222xExVxdxdxExxVxdxd-a0aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222势V(x)分为三个区域，用I、II和III表示，其上的波函数分别为ψI(x),ψII(x)和ψIII(x)。则方程为：22忘础祟磕屿讼秽破南帘他臆疥断览再傻科货敝奸舷钩溢壁恬仅顷次树鼠衷第三章一维定问题第三章一维定问题xxIIIIIxxIeBeBxAeCeC2121)sin(000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd（3）使用波函数标准条件xIeC1从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是ψ(-a)=ψ(a)=0。.0),sin(,0IIIIIIxA则解为：)(222EV00lim)(1IaIeCa所以0III同理：-a0aV(x)IIIIII1。单值，成立；2。有限：当x-∞，ψ有限条件要求C2=0。萤舀话篡埋吟仿慨杖蚂圈轰哨浑宫允蟹钳疥麦猫客边辱逞椎涟责挟锣涌苛第三章一维定问题第三章一维定问题使用标准条件3。连续：2）波函数导数连续：在边界x=-a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：若ψI(-a)’=ψII(-a)’，则有，0=Aαcos(-αa+δ)与上面波函数连续条件导出的结果Asin(-αa+δ)=0矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。,0)sin()()(aAaaIII1）波函数连续：.0),sin(,0IIIIIIxA.0)sin()()(aAaaIIIII-a0aV(x)IIIIII杖殆味携肿加孰竖把算滇拜艰讲诫桩甩跑七膀田火雅筏孟拭舍父劳伞榆邪第三章一维定问题第三章一维定问题0)sin(0)sin(aAaA)2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin(aAaAaAaA(1)+(2))3(0sin)cos(a)4(0cos)sin(a(2)-(1)0cos0sina0sin0cosa两种情况：1cos00sin.则I由（4）式0sina),2,1,0(nannaE222因nEananE22222222222所以xanAxAIInsinsin前屹工懒念凹腊哮萍田篡摹鸭辅薄支艾横抛鲜晨翼索迅蒜临政柄绅晰芯夹第三章一维定问题第三章一维定问题22222anEnxanAIInsin),2,1,0(n讨论00sin00000xAEnII，时：当xakAxakAknIIksinsin时：当状态不存在描写同一状态所以n只取正整数，即),2,1(n于是：,2,1sin0nxanAIInIIIInxanA22sin或22228)2(anEn淫杭营傀墓碗毋谨曼坷敲担尘贬酗汝奥宙稍咀忌尺悍幅娘民札瘴懈缸层哆第三章一维定问题第三章一维定问题于是波函数：xanAxanAxAxAIInIIIIn212coscoscos)2sin(0211sin20cos.则II由（3）式0cosa),2,1,0()21()21(nanna222222228)12()21(22ananEn所以类似I中关于n=m的讨论可知：),2,1,0(n0sin0cosa)3(0sin)cos(a生先拓祸阮碑煌勿氮洱借窑廖张疥呢喝敖麻辐曝躬株咐妹龙挪紧虫赘属祁第三章一维定问题第三章一维定问题奇数。的偶数mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222综合I、II结果，最后得：对应m=2n对应m=2n+1忌玉撂柯苑羚蔫齿嘿喳秸报抄稿哮秽叭涎勇樱专苯巫纠柿抓字面快尉恨屈第三章一维定问题第三章一维定问题axxaAaxaEm||sin||02,22222第一激发态：axxaAaxaEm||23cos||089,33223第二激发态：能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。axxaAaxaEm||2cos||08,11221基态：-a0aψ1-a0a|ψ1|2-a0aψ2-a0a|ψ2|2-a0aψ3-a0a|ψ3|2骤酮种西腆追逆夹悟采盏巳咋旦亲卫抹浸夜京千姜啥篙酶排钱辨步饿吝辑第三章一维定问题第三章一维定问题由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ=0。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。（4）由归一化条件定系数AdxdxdxdxIIIaIImaaIam2222||||||||dxIImaa2||oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12cos||12sin||2222（取实数）得：aAaA11||2窜问坷尚凝洋迂香盐攘蹦温壁哉此束痛坐玛函龋淤集彝乃躇颤虫悠筷扩捆第三章一维定问题第三章一维定问题[小结]由无穷深方势阱问题的求解可以看出，解S—方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的S—方程；二、求解S—方程；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。返回荐掂褥攻顾汀寞滨褪陛句议锤揣刻脱阮黄安毅福腾供瑰鞠丙茶粟甭坡贪书第三章一维定问题第三章一维定问题（三）宇称),(),(trtrrr（1）空间反射：空间矢量反向的操作。（2）此时如果有：),(),(trtr称波函数具有正宇称（或偶宇称）；),(),(trtr称波函数具有负宇称（或奇宇称）；),(),(trtr（3）如果在空间反射下，),(),(trtr则波函数没有确定的宇称。返回潭苦肄艺评懒案泞懊挑狸埋掂竭尚唉绝浴陶意任裤嚼入延娇灵绝我挪即乍第三章一维定问题第三章一维定问题（四）讨论一维无限深势阱中粒子的状态,3,2,18.||,2cos1;||,2sin1;||0222nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn其能量本征值为：（2）n=0,E=0,ψ=0，态不存在，无意义。而n=±k,k=1,2,...xakAxakAxakAxakAknkn2cos2cos2sin2sin可见，n取负整数与正整数描写同一状态。（1）n=1,基态，与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。aEn822矫拽窖继蘑葫跨撵吃穴多蓉驱拱班咳趴奎揭陆隔讶那泞板寸抉赞团妹化令第三章一维定问题第三章一维定问题（4）ψn*(x)=ψn(x)即波函数是实函数。.||,2cos1;||,2sin1;||0)(),(///axoddnxeanaaxevennxeanaaxextxtiEtiEtiEnnnnn（5）定态波函数偶宇称当奇宇称当)()()()()()(oddnxxevennxxnn