2013-2014南昌大学大一第一学期高数考试试卷及答案

一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设对任意x，总有(x)≤f(x)≤g(x)，且0)]()([limxxgx，则)(limxfx()A.存在且等于零B.存在但不一定等于零C.一定不存在D.不一定存在2.x=0是函数xxxf1sin)(的()A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点3.下列函数的弹性函数不为常数的为()，其中a,b,为常数A.y=ax+bB.y=axC.xayD.y=x4.若函数f(x)在点x可微，则当x0时，ydy较之dy为()无穷小A.同阶B.等价C.低阶D.高阶5.设f(x)在区间[a,b]上连续，则dttfxFxa)()(在区间[a,b]上()A.不一定有界B.不一定连续C.不一定可积D.一定可导二、填空题（每空3分，共15分）1.若函数f(x)的定义域为D=]4,0[，则f(arcsinx)的定义域为__________2.}ln)2[ln({limnnnn__________3.若0,0,)(xbxaxexfx在x=0处可导，则b=_________4.设函数f(x)在(,+)上连续，则])([dxxfd=__________5.dxxx1122)1(=__________三、求下列极限（每题6分，共12分）1.求极限1cos1)1(lim3120xxx2.求极限)tan(seclim2xxx四、求下列各题（每题6分，共12分）1.设y=(lnx)x，求y2.求由参数方程tytx1212所确定的函数的二阶导数22dxyd五、求下列不定积分（每题6分，共12分）1.dxx112.dxxx2ln六、求下列定积分（每题6分，共12分）1.dxxx03sinsin2.dxx51ln七、应用题（每题8分，共16分）1.某产品的总成本C（万元）的边际成本为生产量x（百台）的函数C(x)=1，总收益R（万元）的边际收益为生产量x（百台）的函数R(x)=6x，（1）求生产量等于多少时，总利润最大？（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？2.求由抛物线y+1=x2与直线y=1+x所围图形的面积。八、证明题（6分）设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，试证：存在(a,b)，使得f()=g()一、1.D2.A3.A4.D5.D二、1.]22,0[2.23.14.f(x)dx5.2三、1.原式=322131lim220xxx2.原式=0sincoslimcossin1lim22xxxxxx四、1.方程两边取对数，得lny=xln(lnx)则]ln1)[ln(ln)(lnln1)ln(ln1xxxyxxyyx2.322221)21()1(1)21()1(tttdxydtttdxdytttt五、1.令tx，则x=t2，dx=2tdt原式=CxxCttdttdttt)]1ln([2)]1ln([2)111(2122.原式=CxxCxxxdxxxxxdx1ln)1ln()11(ln1ln2六、1.原式=xdxxdxdxxxsinsinsinsin|cos|sin221202102134)32(32sin32sin322232023xx2.原式=45ln5lnln5151xdxxx七、1.(1)L(x)=R(x)C(x)=6x1=5x令L(x)=0，得x=5(2)21215)5(6526565xxdxx总利润减少了21万元2.联立xyxy112得交点(1,0),(2,3)则29)]1()1[(212dxxxA八、构造辅助函数F(x)=f(x)g(x)，由题设F(a)=F(b)=0又f(x)，g(x)在(a,b)内具有相等的最大值不妨设x1x2，x1,x2(a,b)，f(x1)=M=)(max],[xfba，g(x2)=M=)(max],[xgba若x1=x2，令c=x1，则f(x1)g(x2)=F(c)=0若x1x2，则F(x1)=f(x1)g(x1)≥0，F(x2)=f(x2)g(x2)≤0由闭区间上连续函数的性质，c[x1,x2](a,b)，F(c)=0在[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理，1(a,c),2(c,b)，使得F(1)=F(2)=0再对F(x)在[1,2]上利用罗尔定理，(1,2)(a,b)，使得F()=0，即f()=g()