圆锥曲线中的定点和定值问题

圆锥曲线中的定点和定值问题课前热身：例：已知直线l：Rmmymxm47112，证明直线l过定点。方法1：特殊值法方法2：分离参数，恒成立求证：直线恒过某一定点P，并求该定点的坐标。破解之道之一：特殊引路法分析：因直线随m取不同的值而变化，但是由题意分析可知应该是围绕某一定点在旋转，而这一定点我们只需两条相交直线即可求得，但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上，这样就使得解法更为完备。证明：直线，取，此时直线方程为。①取，此时方程为②联立①②解得点P（3，1）。将点P（3，1）代入直线方程。故直线恒过定点P（3，1）。破解之道之二：换元法分析：众所周知，直线方程中的点斜式可以表明直线过点P（，），因此我们可以将直线的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。证明：，当时，。令。由此可得。即原直线方程可化为。由直线的点斜式方程可知该直线过点P（3，1）。当即时，原直线可化为，此时点（3，1）仍然在直线上。综上，直线恒过定点P（3，1）。破解之道之三：参数分离法分析：对于直线方程来说，如果我们将其中的m看作参数，并将其分离得0，此时我们令，，则这两条直线的交点P（，）一定满足直线方程0，即P（，）在直线上，这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了。证明：。令，=0，解方程组得令点P为（3，1），因点P（3，1）满足。所以也满足。进一步得点P（3，1）满足。故直线恒过定点P（3，1）。一、定点问题1、直线过定点方法一：求出直线方程（含参数），证明直线过定点；（一般设直线为y=kx+b或x=my+n，消去其中一个参数）例1：已知定点0,0()Mxy在抛物线m：22ypx（p＞0）上，动点,ABm且0MAMB．求证：弦AB必过一定点．【解析】设AB所在直线方程为：xmyn．与抛物线方程22ypx联立，消去x得2220ypmypn．设11(,)Axy，22(,)Bxy则122yypm……①122yypn……②由已知0MAMB得，1MAMBKK．即102010201yyyyxxxx……③∵221010101011()()()22xxyyyyyypp222020202011()()()22xxyyyyyypp∴③式可化为1020221ppyyyy，即221201204[()]pyyyyyy．将①②代入得，002npmyx．直线AB方程化为：00002()2xmypxmymyyxp．∴直线AB恒过点00(2,)xpy．方法二：找出定点，证明直线过定点（三点共线）例2、在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.[来源:学科网](1)设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；(2)设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．【答案】解：由题设得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)．(1)设点P(x，y)，则PF2＝(x－2)2＋y2，PB2＝(x－3)2＋y2.由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化简得x＝.故所求点P的轨迹为直线x＝.(2)由x1＝2，＝1及y1＞0，得y1＝，则点M(2，)，从而直线AM的方程为y＝x＋1；由x2＝，＝1及y2＜0，得y2＝－，则点N(，－)，从而直线BN的方程为y＝.由所以点T的坐标为(7，)．(3)由题设知，直线AT的方程为y＝(x＋3)，直线BT的方程为y＝(x－3)．点M(x1，y1)满足得.因为x1≠－3，则，解得x1＝，从而得y1＝.点N(x2，y2)满足.若x1＝x2，则由及m＞0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，过点D(1,0)．若x1≠x2，则m≠2，直线MD的斜率kMD＝，直线ND的斜率kND＝，得kMD＝kND，所以直线MN过D点．因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)(2010)已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足.||||CBPBBCPC（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.（方法一：求出直线方程（含参数），证明直线过定点）同例1解：（1）设.4,1)1(||||),(222xyxyxCBPBBCPCyxP化简得得代入).2,5(),5(12,0)2()5()2(),14(444424:).24,14(4),1(12:).24,14(,242,0484,4)1(2).2,1(,14)2,()2(222222221222过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将xkkyyxkykkxkkkkkyDEkkExyxkyAEkkDkyykykyxyxkyADAmxymA),1,(21212,2,0)2(24),(),,(,,14)2,()3(212211222211112xxxyxykkbxkbxkxybkxyyxEyxDbkxyDEmxymAAEAD得由的方程为设直线得代入将)2,1(,,),2,1(,2)1(22).2,1(,2)1(22).2().2(,)2(,)2(2,02)2())(22()2(,2222212212212122211定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且xkkkxybkxykbxkkkxybkxykbkbkbkbkbxxkkbxxbxxkkbxxkbkxybkxy错误!未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.【答案】解:(Ⅰ)A(4,0),设圆心C2222,2),,(ECMECMCAMNMEEMNyx，由几何图像知线段的中点为xyxyx84)422222（(Ⅱ)点B(-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(xyxyyyyyyxQyxP，由题知设.080)()(88811211221212222112211yyyyyyyyyyyyxyxy直线PQ方程为:)8(1)(21121112121yxyyyyxxxxyyyy1,088)(8)()(122112112xyxyyyyxyyyyyy所以,直线PQ过定点(1,0)例3．（2013年安徽数学（理））设椭圆2222:11xyEaa的焦点在x轴上(Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(Ⅱ)设12,FF分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线2FP交y轴与点Q,并且11FPFQ,证明:当a变化时,点p在某定直线上.（方法一：求出点P的轨迹方程为定直线,或证明P满足某曲线的定义）（方法二：找出定直线，代入证明点P在定直线上）【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222xxacaacaa，椭圆方程为：.(Ⅱ)),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221mcQFycxPFmQyxPcFcF（则设.由)1,0(),1,0()1,0(012yxaa.0)()(,//).,(),,(112211mycxcycxcmQFPFQFPFmcQFycxPF得：由解得联立22222222222222111.))((caacyxayaxcyxycxcxyxyxyxyxyyxx1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222所以动点P过定直线01yx.设椭圆C：过点M（，1），且左焦点为。（1）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某定直线上。解：（1）由题意解得所求的求椭圆C的方程。（2）设点，，，由题设，、、、均不为0，且，又四点共线，可设，，于是，①，②由于，在椭圆上，将①②分别代入C的方程，整理得：③④由④-③得∵，∴即点总在直线上。已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA．（1）证明：P（a，b）在一条定直线上，并求出直线方程；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时的⊙P方程．（1）连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线性质得到PQ垂直于OQ，利用勾股定理得到|PQ|2=|OP|2-|OQ|2，而|PQ|=|PA|，得到平方相等，利用两点间的距离公式列出关系式，化简即可得到所求的直线方程；（2）利用两点间的距离公式表示出|PQ|，将b=-2a+3代入，被开方数为关于a的二次函数，配方求出|PQ|的最小值，以及此时a的值，即为线段PQ的最小值；（3）设圆P的半径为R，Q为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，根据两圆有公共点列出关系式，再由两点间的距离公式表示出|OP|，将b=-2a+3代入得到被开方数为关于a的二次函数，配方求出二次函数的最小值以及此时a的值，求出此时b的值，确定出P坐标，即为所求圆的圆心坐标，求出|OP|的最小值，得出R的最小值，即为所求圆的半径，写出圆P的标准方程即可．例4．(2102福建文21)（本小题满分12分）如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线)0(2:2ppyxE上．（I）求抛物线E的方程；（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线1y相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．2．解：依题意||OB=38，30BOy,设(,)Bxy，则=||sin30xOB43，=||cos3012yOB．因为点(43,12)B在22xpy上，所以243212p（），解得2p．所以抛物线E的方程为yx42．(2)解法一（用恒成立法求出定点，不用证明）由（1）知241xy,12yx．设00(,)Pxy，则00x，并且l的方程为000()yyxxx，即2001124yxxx．由20011,241yxxxy得2004,21.xxxy所以2004(,1)2xQx．设),0(1yM,令=0MPMQ对满足20001(0)4yxx的0x，0y恒成立．由于）100,(yyxMP，201041)2xMQyx=（，，由于0MPMQ,得22000111402xyyyyy，即21110(2)(1)0yyyy．（*）由于（*）对满足20001(0)4yxx