弹塑性力学2应变分析

第二章应变分析第一节一点的应变状态应变与位移的关系第二节应变状态分析第三节主应变第四节应变张量和应变偏量第五节应变协调方程（连续性方程、相容方程）（Equationsofcompatibility）第二章应变分析1第二章应变分析2本章从几何学的观点出发分析研究物体的变形。反映物体变形规律的数学方程也有两类，即几何方程和变形协调方程。由于这两类方程都是基于物体连续性的假定从几何学出发得到的，并不涉及产生变形的原因和物体的材料性质，所以它们均属于“普适方程”。第二章应变分析3在外力作用下，物体各点的位置要发生改变，即发生位移。如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，将这种位移称为刚体位移。如果物体各点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体就同时产生了形状的变化，统称该物体产生了变形.第一节一点的应变状态应变与位移的关系第二章应变分析4为了确定正应变的定义，在一受拉杆上有线段AB，在变形后，变为（见右图）。若线段AB的长度为，变形后的A点的xBA第二章应变分析5下面我们讨论一般情况，给出应变的概念。设在直角坐标系中，变形前A点的坐标是（x，y，z），变形后的坐标是（x+u，y+v，z+w），这里u，v，w是A点的位移在x，y，z三轴上的投影，它们都是坐标x，y，z的连续函数，而且位移的导数也是连续的。dxduxuxx0lim定义：正应变（2－1）显然，如果变形的分布是均匀的，则有:即：材料力学的拉伸应变。000lllllx（2－2）位移是u，而B点的位移是u+u，则线段增加了u。x第二章应变分析6设由变形体中取出一个微小六面体（见书中图2－3变形体的投影），在研究微小六面体的变形时，采用的分析方法是将六面体的各面投影到直角坐标系的各个坐标平面上，研究这些平面投影的变形，并根据这些投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。由于变形很微小，所以可以认为两个平行面在坐标面上的投影只相差高阶的微量，因而，两个平行面的投影可以合并为一个投影面。第二章应变分析7首先，研究平行六面体在xoz面上的投影ABCD（见书中图2－4）。在变形前六面体A点的坐标为（x，y，z），在六面体变形时，投影上的A点移到了点，同时而整个ABCD移到。A，BB，CC，DDDCBA设A点的位移是u，w，它们是坐标的函数，因此有：),,(1zyxfu),,(2zyxfw（2－3）而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：第二章应变分析8),,(11zydxxfu根据泰勒级数展开式，可得：2212111),,(!21),,(),,(dxxzyxfdxxzyxfzyxfu略去高阶项后得到：dxxuuu1（2－4）由于则AB在x轴上的投影的伸长量为，则有：dxxuuu1dxABxudxuux1同理可得平行于y轴和z的边长的正应变，因此有：（2－5）xuxyvyzwz当大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。zyx，，第二章应变分析10xzAABBBwudxxuudxxwwCoC下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。第二章应变分析10取变形前的直角BAC或，变形时，棱边转动一个角度，棱边转动一个角度，在xoz平面内，角应变用表示，其值为和之和，即：CABBACAzxzx（2－6）若A点在z轴方向的位移为，),,(2zyxfw第二章应变分析11则B点在Z轴方向的位移为，dxxwwzydxxfw),,(21dxx1B点与A点沿Z轴方向的位移之差为:在直角三角形中，可得：BBAxuxwdxxudxdxxwBABBtg1在分母中（）与1相比是一个微量，故可以略去，因而得出，xuxxwxzAABBBwudxxuudxxwwCoC第二章应变分析12同理可得：zu所以有剪应变：xwzuzx同理可得另外两个剪应变。即有剪应变的表达式（2－7）yzxy，（2－7）xvyuxyywzvyzxwzuzx说明：剪应变的正负号表示夹角变大表示夹角变小),,,(0),,,(0zyxjizyxjiijij第二章应变分析13所以，正应变和剪应变的表达式为（2－8）：xwzuzwywzvyvxvyuxuzxzyzyxyx，（2－8）式（2－8）称为柯西（Cauchy）几何关系。[式(2－8)的提出者：法国工业学院的数学教授柯西（Cauchy）(1789－1857)，于1822年发表的论文提出的]可知：如果已知位移分量可以很简单的求出应变分量；反之，则问题比较复杂。第二章应变分析14利用类似的方法，可以导出柱坐标表示的几何方程为式（2－9）：zurwzwzvwrruvrrvurrvruzrzzrr111，（2－9）第二章应变分析15其中，分别表示一点位移在径向（r方向），环向（方向）以及轴向（z方向）的分量。wvu，，对于平面问题，柱坐标变为极坐标，则平面极坐标表示的几何方程为：rvrvurruvrrurr11（2－10）下面给出式（2－10）的推导过程。第二章应变分析16首先假定只有径向位移而没有环向位移：如图（2－6）所示，在P点沿径向和环向取两个微段PA和PB，设PA移到了，位移为u；PB移到了，则P，A，B三点的位移分别为：APBPuPPdrruuAAdfrfdrfduuBB),(),(odxyrpBpBAA径向位移图第二章应变分析17则PA的正应变为：rudrudrruuPAPAAPr)(PB的正应变为：rurdrddurPBPBBP)(pBpB径向线段PA的转角为：0urrduduuPBPPBBtg1)(＝环向线段PB的转角为：所以有：urr1第二章应变分析18其次，假定只有环向位移而没有径向位移:见图2－7，由于P点的环向位移v，径向线段PA移段到了，环向线段PB移到了，则P，A，B三点的位移分别为：APBPdvvBBdrrvvAAvPP,,可见：径向线段PA的正应变为：0rxydppBBAArdr图2-7环向位移图o第二章应变分析19环向线段PB的正应变为：vrrdvdvvPBPBBP1)(径向线段PA的转角为：rvdrvdrrvvPAPPAAtg)(＝环向线段PB的转角为：rvOPPPPPO第二章应变分析20所以剪应变为：rvrvr因此，如沿径向和环向都有位移，则根据叠加原理可得式（2－10）。对于轴对称问题：，，则式（2－10）的平面极坐标几何方程为（2－11）)(ruu0vrurur，（2－11）对于球对称问题：变形的几何方程为式（2－12）rurur，（2－12）第二章应变分析21注意：书中P47对方程（2－10）的相关项进行了解释.第二节应变状态分析第二章应变分析22xyzpNNdro现在已知物体内任一点P的六个应变分量，试求经过该点（P点）的沿N方向的任一微小线段PN＝dr的正应变，以及经过P点的微小线段PN和的夹角的改变。zxyzxyzyx，，，，，NP令PN的方向余弦为l、m、n，则PN在坐标轴上的投影为：第二章应变分析23ndrdzmdrdyldrdx，，（2－13）设P点的位移分量为u，v，w，则N点的位移分量为：的高阶项),,(),,(),,(dzdydxdzzfdyyfdxxfzyxfdzzdyydxxfuN略去高阶项（小量）得：dzzudyyudxxuuuN同理可得：NNwv，即有式（2－14）第二章应变分析24dzzwdyywdxx（2－14）在变形后，线段PN在坐标轴上的投影为（2－15）式：即dzzwdyywdxxwdzwwdzdzzvdyyvdxxvdyvvdydzzudyyudxxudxuudxNNN（2－15）第二章应变分析25令线段PN的正应变为，则该线段变形后的长度为：而且有NdrdrN2222)()()()(dzzwdyywdxxwdzdzzvdyyvdxxvdydzzudyyudxxudxdrdrN（2－16）上式两边同除以，并利用（2－13）式得：2)(drndrdzmdrdyldrdx，，2222)]1([])1([])1([)1(zwnywmxwlzvnyvmxvlzunyumxulN第二章应变分析26因为和位移分量的导数都是微小的，它们的平方和乘积可以不计，可得：NywnmxwnlzwnywmxwlxvmlzvmnyvmzunlyulmxulN22)21(22)21(22)21()21(222利用，上式可得：1222nml)()()(222yuxvlmxwzunlzvywmnzwnyvmxulN＝再利用几何方程可得：xzzxyzzyxNlmnlmnnml222＝（2－17）第二章应变分析27下面来求PN和的夹角的改变NP设PN在变形后的方向余弦为，则由式（2－13）和式（2－15）可以得到：111nml，，]1][)1([)1]()1([)1(211NNNNzunyumxulzunyumxuldrdzzudyyudxxudxl注意到，都是微小量，在展开上式后，略去二阶以上的微小量得：Nzuyuxu，，第二章应变分析28zunyumxullN)1(1－同理可得出，即得出式（2－18）11nm，ywmxwlzwnnxvlzvnyvmmzunyumxullNNN)1()1()1(111－－－（2－18）与此类似，设线段在变形之前的方向余弦为，则其在变形后的方向余弦为：nml，，NP第二章应变分析29ywmxwlzwnnxvlzvnyvmmzunyumxullNNN)1()1()1(111－－－（2－19）1111111cosnnmmll（2－20）其中，是的正应变。NNP令PN和在变形之前的夹角为，变形之后的夹角为，则有：1NP30将式