第五讲-温度场的有限元分析---CMS

第五讲第五讲温度场的有限元分析传热基本原理传热基本原理稳态热传导问题有限元稳态热传导问题有限元瞬态热传导问题有限元瞬态热传导问题有限元热应力的计算热应力的计算1.1典型加工方法中的传热问题焊接汽车各个典型部件的加工方法注塑冲压铸造1.1典型加工方法中的传热问题焊接焊接注塑注塑铸造铸造锻压锻压1.1典型加工方法中的传热问题注塑1.1典型加工方法中的传热问题焊接1.1典型加工方法中的传热问题铸造1.1典型加工方法中的传热问题锻压冷冲热冲1.1典型加工方法中的传热问题传热问题广泛出现在材料加工领域温度场与宏观力学性能和微观组织变化关系密切温度场与宏观力学性能和微观组织变化关系密切1.2温度场基本方程一般三维问题，物体各点的温度是坐标和时间变化的，即zzqqdzzyyqqdyy热平衡原理：任一dt时间内，物xxqqdxxzyq(,,,)TTxyzt体内任一微元体所积蓄的热量（即温度升高所需的热量）等于传入该微元体的热量与微元体内热xzdzd•Qyqxq入该微元体的热量与微元体内热源所产生的热量之和。xyzdzdyyzqx微元温度传入微元微元内升高的产生升高=的+产生所需热量净热量的热量1.2温度场基本方程设微元在dt内温度升高为：TTTdtt相应所积蓄的热量增量为：Tdddd相应所积蓄的热量增量为：cdxdydzdtt同一时间内，微元体沿x方向传入和传出的热量之差，即净热量为()xxxxqqqdydzdtqdxdydzdtdxdydzdtxx出的热量之差，即净热量为xx类似地，y，z方向的净热量：,yzqqdxdydzdtdxdydzdtyz即传入微元体的净热量为qqq即传入微元体的净热量为：()yxzqqqdxdydzdtxyz由热传导定律：热流密度与温度梯度成正比而方向相反即TTTqkqkqk成正比，而方向相反，即：,,xxyyzzqkqkqkxyz代入上式得传入微元体净热量为：[()()()]xyzTTTkkkdxdydzdt传[()()()]xyzyxxyyzz1.2温度场基本方程设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在dt内所共给的热量为：热量为：Qdxdydzdt据热平衡得一般热传导微分方程据热平衡得一般热传导微分方程：[()()()]xyzTTTTcdxdydzdtkkkdxdydzdtQdxdydzdttxxyyzztxxyyzz微元体温度升高所需的热量三个方向传入微元体的净热量微元体内热源产生的热量高所需的热量元体的净热量产生的热量——物体密度c——比热，单位质量物体温度升高1度所需的热物体密度c比热，单位质量物体温度升高1度所需的热量；——热传导系数,,xyzkkk1.2温度场基本方程整理得到温度场的基本方程如下：()()()0xyzTTTTckkkQtxxyyzz二维情况下，退化为()()xyTTTckk0Q()()xytxxyy0Q二维稳态情况下，退化为TT二维稳态且无热源项，退化为()()xyTTkkxxyy0Q0维稳态且无热源项，退化为()()xyTTkkxxyy1.2温度场基本方程稳态热传导问题，温度场不随时间变化，仅仅是空间坐标的关系类似于力学问题中的弹性静力学问题关系，类似于力学问题中的弹性静力学问题。z,y,xfT瞬态热传导问题，温度场不仅在空间上变化，还随着时间变化这种在空间域有限元离散后得到的是一阶常微分方程化。这种在空间域有限元离散后，得到的是一阶常微分方程组，不能对它直接求解。fTt,z,y,xfT1.2温度场基本方程满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温度场，必须知道物体初始瞬态的温度分布，即初始条件。0(,,,)(,,)tTxyztTxyz0t同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律，即边界条件，有三类边界条件。边界条件，有三类边界条件。1.2温度场基本方程常见的边界条件有以下三类：第一类边界条件：给定物体表面温度随时间的变化关系第类边界条件：给定物体表面温度随时间的变化关系)(tfTw第二类边界条件：给出通过物体表面的比热流随时间的变化关系tzyxqnT,,,第三类边界条件：给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热系数n上述三类边界条件中以第三类边界条件昀为常见＝nTfwTT上述三类边界条件中，以第三类边界条件昀为常见。1.3基本概念等温面：空间具有相同温度点的组合面。等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。温度梯度：对于一定温度场，沿等温面或等温线某法线方向的温度变化率。温度梯度越大，图形上反映为等温面（或等温线）越密集。或等温线）越密集1.3基本概念热能传递的三种基本方式：热传导：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热能传递称为热传导简称导热导热。傅立叶定律（导热基本定律）,,xxyyzzTTTqkqkqkxyz傅立叶定律（导热基本定律）xyz1.3基本概念热能传递的三种基本方式：热对流：是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。热对流仅能发生在流体中包括自然对流与强制对流前者是由于流体仅能发生在流体中。包括自然对流与强制对流，前者是由于流体冷、热各部分的密度不同而引起的；后者是由于水泵、风机或其他压差作用所造成的。他压差作用所造成的。Thq牛顿冷却公式为表面换热系数，不仅取决于流体物性，以及表面形状等，还与流体速度有密切关系。h1.3基本概念1.3基本概念热能传递的三种基本方式：热辐射：物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。物体会因各种原因发出辐射能，其中因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射为热辐射。Stefan-Boltzmann定理其中为热力学温度（K），为环境温度，为Stefan-Boltzmann常量为物体的发射率(黑度iiit)理想黑体其值等于1般量。为物体的发射率(黑度emissivity)，理想黑体其值等于1，一般物体小于1。1.3基本概念思考：热冲压过程中存在哪些传热方式？2.1二维稳态温度场有限元形函数形函数：温度场形函数的构造与弹性力学有限元中形函数的构造本质上是致的仅由于节点自由度的不同形函数矩阵形式上本质上是一致的。仅由于节点自由度的不同，形函数矩阵形式上有所差异。以3节点三角形单元为例以3节点三角形单元为例：mjiNNNNmjiNNNN000mjimjiNNNN000二维弹性力学形函数矩阵二维温度场形函数矩阵维弹性力学形函数矩阵维温度场形函数矩阵)ycxba(N1)ycxba(ANiiii2完全一致iN2.2二维稳态温度场有限元-加权余量法以伽辽金(Galerkin)法推导二维稳态温度场的有限元离散形式()()0()()xyTTkkQxxyyTxytTt在内在上112(,,)(,)()aTxytTtTkTTn在上在上为方便起见，不考虑内部热源项，并假设为常数，则控制方程简化为kkkyxTT0yTyxTxk2.2二维稳态温度场有限元-加权余量法将温度T在单元内离散，写成如下形式其中N为形函数，为节点上的温度值，代入控制方程，得到余量为TNTTTyNyxNxkyTNyxTNxkR同理，边界方程的余量为NkaTTNnNkR2.2二维稳态温度场有限元-加权余量法根据加权余量法，控制方程的离散形式如下0RdWRdWii此处采用伽辽金(Galerkin)法，权系数取，并写成矩阵形式，得到iiNWiiNNN0dTTNnNkNTdyNyxNxNkaTT对前半部分采用分部积分，得到TdyNyxNxNkTTdyNyNxNxNkTdyNxNNkyyxxTTTTdyNyNxNxNkTdnNNkTTT2.2二维稳态温度场有限元-加权余量法将前半部分与后半部分合并后，得到NNNNTT简成不同的边界条件，此项形式有所不同dTNTNNTdyNyNxNxNkaTT简写成其中项形式有所不同PTK21KKKdTNNT2K边界单元温度刚度阵其中即为内部单元温度刚度阵，dyNyNxNxNkTT1K以平面三角形单元为例（在前文中已经介绍）A2A2iiiicNbN注意到采用三角形单元后，温度刚度阵各个部分均与坐标变量无关，即在单元内为常数。将上述公式代入刚度阵后，得到A2A2yx2.2二维稳态温度场有限元-加权余量法iicb1A2A2A2A2A2A2A2A2A2A2AkjijkjijccccbbbbkK22A2A2kkbbbbbcb222222A4kjkjjjkikijijiiicbccbbcbccbbccbbcbkkkcb不同的单位类型，得到的温度刚度阵形式不一2.2二维稳态温度场有限元-加权余量法对于边界条件的处理)(tfT第一类边界条件tzyxqT)(tfTw第一类边界条件第二类边界条件tzyxqn,,,＝TfwTT第三类边界条件nfw第一类边界条件也称为强制边界条件，要求场函数在构建时就必须满足，通常通过降阶法乘大数法等令相应节点强制满足通常通过降阶法、乘大数法等令相应节点强制满足。第二类边界条件也称为自然边界条件，在有限元推导过程中，以弱形式满足，通常与内部项分部积分后导出的边界项，累加后形成外力项。第三类边界条件与第二类条件有相似的处理方法，但边界项除了外力项，还出现待求函数本身，具有一定的非线性性质。2.3二维稳态温度场有限元-变分法参曾攀书xA设AB间有n条曲线，()1,2,...iyxin参曾攀书p每条曲线对应一个时间，要求一条曲线使重物靠自重由A沿此曲线滑到B所需的时间昀短，即求昀速下1,2,...iTinyvpB线滑到所需的时间昀短，即求昀速下降曲线。显然，AB间直线路径昀短，但重物运动的速度增长并不是昀大，即下滑的时间并非昀短。泛函与变分T是y(x)函数，即泛函，求变分的极值则可得昀速下降曲线泛函与变分函数y=f(x)求y的极值，即求微分，由dy=0可得。泛函J=J[y(x)]函数y(x)为自变量，J为函数y的函数，称J为y的泛函求泛函的极值即求变分由可得0J泛函，求泛函的极值，即求变分，由可得。0J2.3二维稳态温度场有限元-变分法2.3二维稳态温度场有限元-变分法