初三数学复习总结--应用题--几种类型

应用题中常见的几种数学模型巴斯德的一生进行过很多的研究，主要成果表现在微生物方面，其中研究最多的要数疫苗了。巴斯德疫苗解决了当时社会很多的问题，减轻了无数人痛苦，挽救了生命，引起医学实践的重大变革。早在巴斯德之前就有人提出病菌这一存在，但并未取得重大成果，巴斯德通过研究实验，证明了这一存在，让世人信服，这也为之后他研究疫苗做了铺垫，并在之后的研究中，提出杀死某些病菌和治疗相关疾病的方案。巴斯德疫苗有很多种，最先研究出来鸡霍乱病原菌和炭疽疫苗，降低了当时法国这方面的死亡率，之后又研究出狂犬病疫苗。说到狂犬病疫苗，这里不得不提到研究它的起因，狂犬病来源于病毒感染，可当时无人得知，巴斯德从前面的研究发现：经反复传代和干燥的物质可减少其毒性，注射入体内可获得一定的免疫力。当时就有一个被疯狗咬伤的男孩去请求巴斯德的帮助，巴斯德抱着一试的心态，最后利用新研究的成果救治了男孩，不过真正的狂犬病疫苗在1889年才问世，从那以后，再也不用担心人类这一大公敌造成的威胁了。他为了研究疫苗，常常冒着被传染的危险采集标本，实验过程不管多么艰辛，不管失败多少次，他总是不得到想要的结果决不放弃。巴斯德疫苗解决的都是当时社会存在的，应用题的数学模型是针对或参照应用特征或数量依存关系采用形式化的数学语言，概括或近似表达出来的一种数学结构，本节课结合实例介绍几种解应用题常用的数学模型。本节课主要内容简介：一、函数模型在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一定规律的，这些规律就是我们学过的函数。例1、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.分析：利润=（零售价—进货单价）销售量故有：设利润为y元，零售价上涨x元=-x2+40x+500900202x时等号成立当且仅当20900x即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润.最高利润为900元.y=（50+x-40）（50-x）（其中0〈x〈50））二、方程模型许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，解方程（组）就是最有效的工具。例2、批零文具店规定，凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算,批发价每购60支比零售60支少1元,现有班长小王来购买铅笔,若给全班每人买1支铅笔,则必须按零售价结算,需用m元(m为自然数),但若多买10支,则可按批发价结算恰好也用m元,问该班共有多少名学生?,10,,:元批发价为元则零售价为人设全班共有解xmxmx11060xmxm由题设得600)10(,xxm解得5,50,,mxNmx所以又所以该班共有50名同学。)5040(x例3、某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。（1）设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。三、不等式模型数学应用题中一些最优化问题，往往需用不等式知识加以解决。分析要求y与x的函数关系式，就是找出DE与AD的等量关系。（1）三角形ADE中角A为600故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。ABCADESS21（2）解：（I）∵ΔABC的边长为20米，D在AB上，则10≤x≤20。220432160sin2121AExSsABCADE则.200xAE)2010(200104242xxxy(2)若DE做为输水管道，则需求y的最小值,210104,210200400200104242242时即当且仅当xxxxxy若DE做为参观线路，须求y的最大值。令200104],400,100[42ttytx设,400100,104)(214tttttf任取在三角形ADE中，由余弦定理得：当100≤t1t2≤200时，104t1t24•104,∴t1t2-4•1040，又t1-t20,t1t20,∴f(t1)f(t2)，则f(t)在[100，200]上是减函数。当200≤t1t2≤400时，4·104t1t242•104,∴t1t2-4•1040，又t1-t20,∴f(t1)f(t2)，则f(t)在[200，400]上是增函数。210x210200miny310300naxy∴当t=200，即当t=100或t=400即x=10或20时，210x故若DE是输水管道的位置，则需使若DE是参观线路，则需使x=10或20思考：DE的几何意义是什么？214212124214121104)()104()104()()(tttttttttttftf四、数列模型如果数学应用题中涉及的量，其变化带有明显的离散性，那么所考查的很有可能就是数列模型。例4、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的。根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？32分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。y=+15.1320n132720n9603272023320211nn当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。（2）2005年时，n=9此时y==8201.25+28.985.1320832720即2005年底该乡能达到小康水平。3207207203205.13203272025.132023272035.132033272015.1320n132720n五、几何模型把数学应用题翻译成数学中的几何问题，通过几何知识解决。?,350500,,1200,6000,6000,.5碍物试计算炮弹能否越过障的障碍物处有一高度为点间距离在度是炮弹运行轨道的最大高时而当射程是时为的水平距离与目标现测得我炮位空气阻力是抛物线炮弹的运行轨道若不计例mmABAmmmBA解:建立如图坐标系CAxy50030006000B1200则C（3000，1200）程为弹道运行的抛物线方1200230002ypx3750,0,0pA所以在抛物线上又1200750030002yx从而弹道方程为350367,500yx时当故炮弹能越过障碍物。数学应用题并不难，求解过程通常分三步：小结：1、阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学本质,弄清题中出现的量及其数学含义。2、根据各个量的关系,进行数学化设计,即建立目标函数,将实际问题转化为数学问题。3、进行标准化设计,即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决。（常用列表法，画图法等来帮助理解。）（通常用解方程（组）、解不等式（组）、利用函数的单调性等）