孙芳菲教学设计

课题：“矩估计”教学设计课程：概率论与数理统计教学对象：经管类本科生课时：1课时任课教师：孙芳菲教材：《概率论与数理统计》胡敏，上海交通大学出版社一、教材分析“矩估计”属于教材第七章第一节点估计中的第一种方法，位于教材的第184页至第188页。对于应用型经管类本科生来说，此课程的重点在统计部分，统计部分的重点在统计推断，统计推断是根据样本所提供的的信息对总体特性做出种种推断。参数估计是统计推断中的基本问题之一，主要是指在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析知其分布类型，但分布中的一个或几个参数未知，可根据样本信息构造合适的统计量来估计总体中的未知参数。点估计是参数估计中的常用类型，是指根据样本信息计算出一个数值来估计总体中的未知参数，而本节课所讲的矩估计则是点估计中的一种常用方法。二、教学目标与内容1.教学目标知识与技能了解矩估计的背景来源及点估计的概念；了解矩估计的基本思想，即用样本矩估计总体矩；掌握矩估计的基本步骤及其在离散型和连续型变量中的运用。过程与方法通过“零件疵点数”的案例引入，引导学生解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。情感态度与价值观通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。2.教学重难点教学重点：对矩估计背景的了解和点估计概念的掌握；对矩估计基本思想的理解；对矩估计求解步骤的掌握和应用；教学难点：对矩估计基本思想的理解。对于本节中的重点、难点，尤其是矩估计思想的引入，主要是采用“案例教学法”，通过“零件疵点数”引导学生掌握矩估计的基本思想，即用已知的样本矩来估计含参形式的总体矩。而对于矩估计的求解步骤，利用具体实例（一个未知参数、两个未知参数）引导学生掌握矩估计的基本求解步骤，并带领学生进行归纳总结。三、学情分析一方面，学生通过对概率论与数理统计第五章的学习，对随机变量常见分布、原点矩与中心矩、大数定理等概念有了一定了解，为本次所涉及的实际问题参数求解作了良好的知识储备。而另一方面，由于数学学科的高度抽象性，很多学生在进行矩估计时，往往只会依葫芦画瓢，无法与实际生活联系起来，从而学过的知识很快就会忘记，导致对数学缺乏学习的兴趣。四、教学策略选择与设计1.介绍矩估计的背景与来源，使学生了解其来龙去脉，知道采用矩估计法的根本目的与任务。2.由于概率论的高度抽象性，本节课采用“案例教学法”，在回顾基础知识（大数定理）的同时，以零件上疵点数的样本观察值来估计未知参数为例，引导学生思考，解决问题，提高学生的学习积极性和注意力。进而能够理解矩估计的基本思想，为矩估计的应打下理论基础。3.为了让学生更好应用矩估计法，引入两个具体实例，第一个例子是总体中含一个未知参数，第二个是总体中含两个未知参数，以这两个例子为载体，进行引导讲解，使学生掌握矩估计的一般求解思路，最后，总结归纳相对简单易懂的“三步走”策略。另外，也需详细讲解学生在实际应用过程中常见的易错点与一般常用结论。4.对于一些特殊情况，简要说明，并在下次课中注重讲解。五、教学过程教学环节教学内容教学意图1．矩估计法的背景与点估计概念(6分钟)概述矩估计的地位与背景（3分钟）参数估计：在所研究的总体分布类型已知，但分布中含未知参数的情况下，利用样本信息估计总体分布中的未知参数。使学生了解矩估计的地位与背景，利于矩估计的掌握。统计推断参数估计假设检验区间估计点估计矩估计法最大似然估计法点估计：利用样本的观测数据计算出一个数值来估计总体中未知参数的值。概念引入（3分钟）定义1.已知总体(;)XFx，为待估参数，设12,,,nXXX是总体X的一个样本，12,,,nxxx是相应的样本观测值，构造适当统计量12ˆ(,,,)nXXX使其观测值12ˆ(,,,)nxxx作为未知参数的近似值，则称构造的统计量为未知参数的估计量，其相应观测值称为估计值，估计量与估计值统称为点估计，简记为ˆ。注：1.总体中的待估参数可以是一个，也可以是多个。2.ˆ的估计值不唯一，即对于不同的样本值，ˆ一般不同。使学生理解点估计的概念2.矩估计的思想与原理（20分钟）引入矩估计的理论基础（5分钟）（回顾）辛钦大数定理：设12,,,nXXX是总体X的一个样本，当n充分大时，11()nPiiXXEXn11()(2)nPkkkikiAXEXkn已知含参形式其中，kA为样本矩，k为总体矩。回顾过往知识，加深学生对大数定理的理解和推广、应用。通过案例，引入矩估计的原理与思想（12分钟）案例引入：某工厂生产某种零件，零件上的疵点数X为一随机变量，假定X服从参数为的泊松分布，且(0)未知，设有以下的样本观察值，试估计未知参数。疵点数k0123456频数kn14272620733分析模型建立：零件上的疵点数()(0)X()EX思考1.数学期望的直观含义是什么？即表示该种零件疵点的平均个数又样本均值60602kkkkknxn思考2.能否用样本均值去近似代替数学期望呢？能，大数定理()()PXEXn故ˆ2利用案例启发式教学，引导学生发现问题，解决问题。首先，吸引学生注意力，尽快进入课堂，其次，培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。引入矩估计基本思想（3分钟）矩估计是基于一种简单的“替换”思想建立的一种估计方法，是由英国统计学家K.Pearson最早提出的。由大数定理可知，样本矩依概率收敛于总体矩，即当n越来越大时，样本矩接近总体矩的概率会越来越大。由案例可知，样本矩依据具体的样本信息是可知的，而总体矩则是含未知参数的函数形式，因此，不防用已知的样本矩来近似代替含参形式的总体矩，从而，确定未知参数的估计值。简而概之，就是用样本矩估计总体矩，用样本均值估计总体期望。使学生了解矩估计的基本思想，为矩估计的应用打下基础。3.矩估计的求解步骤（24分钟）矩估计求解步骤的探讨（20分钟）例1.设总体X的分布律为X-102P213其中未知且103，用样本值1,0,1,2,0求参数的矩估计值。分析1.因为样本矩较易得到，而总体矩为含参函数形式，且本题中含有一个未知参数，需一个等式关系，因此，不防先把总体一阶矩（数学期望）求解出来，离散型数学期望的求解为1()iiiEXxp1()(1)202(13)28EX2.用样本一阶矩（样本均值X）近似代替1后，1可看做是已知的，在上述等式中可直接求解未知参数，即1283.可用样本矩代替总体矩，即X代替1，得的矩估计量为2ˆ8X由于1(10120)05x故的矩估计值为21ˆ84x注：1）矩估计量与矩估计值的表示ˆ及其联系与区别；2）“128X”是错误的，X只可近似代替1，并非相等。通过具体的例题（一个未知参数型，两个未知参数型），展现矩估计的求解步骤，便于学生更易掌握。例2.设12,,,nXXX是来自总体X的一个样本，总体X的均值及方差22(0)均存在，但2,未知，试求2,的矩估计量。解（因为本题中有两个未知参数，一个等式不能够确定，故需考虑用样本二阶矩估计总体二阶矩来构造第二个等式）122222()()()[()]EXEXDXEX（反解上述两等式，得未知参数的表示形式）12221用样本矩12,AA代替上式中的12,，得1ˆAX222221211ˆniiAAXXBn注：无论总体X服从怎样的分布，总有2ˆˆ(),()EXXDXB求解思想与步骤的总结（3分钟）矩估计的基本思想：样本矩nikikXnA11估计总体矩)(kkXE矩估计的求解步骤（三步走）：1.计算总体的前k阶矩（k一般为未知参数个数）；2.反解上述等式，得到未知参数的表示形式；3.用相应的样本矩代替表示形式中的总体矩，得到未知参数的矩估计形式。简便易懂，便于学生理解与掌握，并运用于各种题型。作业布置（1分钟）P214:3、5、9六、板书设计七、教学评价与反思本节课的教学内容是教材第七章点估计中的第一种常用方法——矩估计，其教学重点是理解矩估计的基本思想，即样本矩估计总体矩，掌握矩估计的具体求解步骤。由于学生基础较差，故在本节课的课程教学中，采用“案例教学法”，通过实例吸引学生注意力，以问题为导向，以分析为重点，以应用为巩固拓展，引导学生思考、解决问题，进而使学生较快理解与掌握矩估计的基本思想和基本求解步骤。在课堂教学中要让学生多思、多练、多总结，并安排作业，让学生在脱离教师带领下自己思考做题。实践证明，在本节的教学过程中，学生均表现出较高的学习积极性和情感投入，通过交流互动说明学生已大致掌握矩估计的基本思想和基本求解步骤。