1.2-改进的欧拉法

机动目录上页下页返回结束1.3梯形法、隐式格式的迭代计算数值分析预备知识：0,0,0101Lagrange()(),()Lagrange()()()()()()[,],,,,iinjjijinijjijnniiinnnnx,yi=0,1,2,,nxxlxi=0,1,2,,nxxnLxylxRxfxLxfxCabxxxx引入插值方法：设已知点()()令次插值多项式为，余项：满足定理：设被插值函数且插值节点互不相同，则对任意(1)01[,],[,]()()()()()(1)!nnnababfRxxxxxxxn都存在，使得1.3梯形法、隐式格式的迭代计算11(,)(,())nnnnttnnttftudtftutdt(,())nnhftut在欧拉方法的推导过程，用矩形公式近似计算积分11()()(,)nntnntututftudt1()(,())2nnnnttftut11(,())nnftut若用梯形公式近似计算积分，则图1.301ntntt,ftu,ftu11()(,)(,())2nntnnnntttftudtftut11(,())nnftut因此有11111()()()(,())(,())2nnnnnnnnututttftutftut1111(,)(,)2nnnnnnuuhftuftu(1.16)这是一个隐式格式。梯形公式局部截断误差分析：将表成1[,]nnttt,01.ntth1(0,())(1,()),nnutut和用两点插值的余项公式有将表成,01.ntth对于21()[()()](1)()2nnnnhututututh11112(,())[()(()())](1)()2nnnnnnttnnntttntftutdtutututdthuthdt其中，两端关于在上积分1[,]nnttt011311,,(,())[()()],212nnntnnnnttthdthdhhftutdtutututt因为所以且（）,（）21(,())()()10()()()(0)(1)01102!nnnnftutututhuthhutut3(1)3()12nhRuOh＝（）故梯形公式的局部截断误差，即改进的Euler法的局部截断误差为梯形公式的整体截断误差为：()nnneutu由111111(,)(,),2()()(,())nnnnnnnntnntuuhftuftuututftutdt作差得1311(,())[(,())(,())]212nntnnnnthhftutdtftutftutu即（）,33(1)(1)1032(1)(1)200|||(1)||1212||(),1212nnhheeRnRehhRRTteOh所以|＋（）31,12nnheeu（）(1)(1)0max,nnRRnhTt令＝且故梯形法（即改进的欧拉法）的整体截断误差的阶为，从而梯形格式是收敛的。类似于Euler格式可以得到梯形格式的稳定性定理。)(2hO111(,)(,)2nnnnnnhuuftuftu(1.16)如何求解，采用迭代法，其格式如下：1nu(1)()111(0)1(,)(,)2kknnnnnnnhuuftuftuu初始猜测(1.18)迭代法的收敛性：由压缩映像原理可知：前已指出，梯形法是一个隐式格式12Lh(1.19)为迭代法收敛的充分条件。也称为改进欧拉公式。(0)1(0)111(,)(,)(,)2nnnnnnnnnnuuhftuhuuftuftu预报格式校正格式(1.20)有下面的预报-校正格式：当0,k当然也可迭代多次：(0)1(1)()111(,)(,)(,)2nnnnkknnnnnnuuhftuhuuftuftu预报格式校正格式(1.21)当步长取得适当小，用预报格式(欧拉法)已能算出比较好的近似值，故迭代收敛很快，通常只需迭代二三次就可满足精度要求，如果迭代多次仍不收敛，说明步长过大，必须减少步长，再进行计算。hh梯形法较之欧拉法提高了精度，但增加了迭代次数，因此增加了计算工作量。谢谢作业：课本P10,3《李立康》4,5,6，实习题2作业要求：写出程序，列表或用图形显示结果，并给出图或表所说明的结果1.0h并与Euler格式比较精度，取试用预报校正格式(1.20)解初值问题010,1|1tuuttu