高二数学分类加法与分步乘法计数原理2

第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理高中新课程数学选修2-3t57301p21.将1元人民币兑换成角票，共有多少种不同的兑换方法？10种提出问题2.有一个职业赌彩师曾请教伽利略，他认为同时抛掷3枚骰子，在点数之和为9或10上押赌的可能性是一样的，但据长期观察，在点数之和为10上押赌的赢面要大些，这是为什么？1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？26＋10＝36问题探究2.从甲地到乙地可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有4班，汽车有8班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？4＋8＝12问题探究3.从师大声乐系某6名男生或8名女生中任选一人表演独唱，共有多少种不同的选派方法？6＋8＝14问题探究4.上述计数问题的算法有何共同特点？完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.形成结论上述原理称为分类加法计数原理.如何从集合运算的角度理解这个原理？若A∪B＝U，A∩B＝Φ，则card(U)＝card(A)＋card(B).AB问题探究如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为:N＝m1＋m2＋…＋mn形成结论1.用A～F六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？6×9＝54问题探究2.从甲地到乙地，先要从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中从甲地到丙地的火车有4班，从丙地到乙地的汽车有8班，那么两天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？4×8＝32问题探究3.从师大声乐系某6名男生和8名女生中各选一人表演男女二重唱，共有多少种不同的选派方法？6×8＝48问题探究上述原理称为分步乘法计数原理.4.上述计数问题的算法有何共同特点？完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.问题探究如何从集合运算的角度理解这个原理？若U＝{(a，b)|a∈A，b∈B}，则card(U)＝card(A)×card(B).如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数如何计算？N＝m1×m2×…×mn形成结论例1在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学：生物学化学医学物理学工程学B大学：数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业，求他共有多少种不同的选择方法？5＋4＝9（种）典例讲评例2某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加朗诵比赛，求共有多少种不同的选派方法？30×24＝720（种）典例讲评例3书架有三层，其中第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第一，二，三层各取1本书，有多少种不同的取法？(1)4＋3＋2＝9（种）(2)4×3×2＝24（种）例4要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，求共有多少种不同的挂法？3×2＝6（种）典例讲评1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是解决完成一件事的方法数的计数问题，其不同之处在于，前者是针对“分类”问题的计数方法，后者是针对“分步”问题的计数方法.2.在“分类”问题中，各类方案中的每一种方法相互独立，选取任何一种方法都能完成这件事；在“分步”问题中，各步骤中的方法相互依存，只有各步骤各选一种方法才能完成这件事.课堂小结3.在应用分类加法计数原理时，分类方法不惟一，但分类不能重复，也不能遗漏.在应用分步乘法计数原理时，分步方法不惟一，但分步不能重叠，也不能缺少.课堂小结作业：P12习题1.1A组：1，2，3，4，5.布置作业分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课)1.分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.复习巩固推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为N＝m1＋m2＋…＋mn复习巩固2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为N＝m1×m2×…×mn例1给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？最多可以给1053个程序命名典例讲评例2核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的RNA分子？AGCUAAAUGGCC4100个例3电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国际码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？256个2个例4计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图所示是一个具有许多执行路径的程序模块.（1）这个程序模块有多少条执行路径；（2）为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？开始子模块118条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径结束A7371条178次例5随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？共能给22464000辆汽车上牌照.集合A＝{a1，a2，…，an}共有多少个子集？思考1.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？N＝10×10×10×10＝10000（种）课堂练习2.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？第一步：选1人上日班；第二步：选1人上晚班.有3种方法有2种方法N＝3×2＝6（种）3.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的三位数？百位十位个位5种4种5种N＝5×5×4＝100（种）4.从5人中选4人参加数、理、化学科竞赛，其中数学2人，理、化各1人，求共有多少种不同的选法？数学2人化学1人物理1人5种4种3种N＝5×4×3＝60（种）5.用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻区域的颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法？ADCBN＝5×4×3×3＝180（种）54336.从－3，－2，－1，0，1，2，3中任取三个不同的数作为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，问这样的抛物线共有多少条？c取值a取值b取值1种3种3种N＝3×3×1＝9（种）c＝0a＜0b＞07.某4名田径运动员报名参加100m，200m和400m三项短跑比赛.（1）每人限报1个项目，共有多少种不同的报名方法？（2）每个项目限报1人，共有多少种不同的报名方法？（1）34＝81种；（2）43＝64种.8.630的正约数（包括1和630）共有多少个？630＝2×32×5×7正约数:2a×3b×5c×7d2×3×2×2＝24（个）9.某电视节目中有A、B两个信箱，分别存放着先后两次竞猜中入围的观众来信，其中A信箱中有30封来信，B信箱中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信箱中抽取1名幸运观众，再由该幸运观众从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴，求共有多少种不同的可能结果？30×29×20＋20×19×30＝17400＋11400＝28800（种）