专题17-数系的扩充与复数的引入-高考真题数学(文)分项汇编(解析版)

专题17数系的扩充与复数的引入1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz，则||zA．2B．3C．2D．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z，再求||z即可．【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i(12i)(12i)55z，所以2217()()||255z，故选C．方法2：由题可得2222|3i|10||2|12i3(1|5)12z，故选C．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)ii(2z，则zA．12iB．12iC．12iD．12i【答案】D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据共轭复数的概念写出z即可．【解析】由题可得2i(2i)2ii12iz，所以12iz，故选D．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2iz，则zA．1iB．1iC．1iD．1i【答案】D【解析】由题可得()(2i2i1i1i1i1i1i)()z．故选D．【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．4．【2019年高考北京卷文数】已知复数2iz，则zzA．3B．5C．3D．5【答案】D【解析】因为2iz，所以2iz，所以(2i)(2i)5zz，故选D．【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2=|z1|2=|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设1i2i1iz，则||zA．0B．12C．1D．2【答案】C【解析】因为21i(1i)2i2i+2i2ii1i(1i)(1i)2z，所以211|0|z，故选C．【方法技巧】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：（1）1212zzzz；（2）1212zzzz；（3）22zzzz；（4）121212zzzzzz；（5）1212zzzz；（6）1121||zzzz．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】i(23i)A．32iB．32iC．32iD．32i【答案】D【解析】2i(23i)2i3i32i，故选D．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】(1i)(2i)A．3iB．3iC．3iD．3i【答案】D【解析】2(1i)(2i)2i2ii3i，故选D．8．【2018年高考北京卷文数】在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】11i11i1i(1i)(1i)22的共轭复数为11i22，对应点为11()22，，在第四象限，故选D．【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分．将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限．9．【2018年高考浙江卷】复数21i(i为虚数单位)的共轭复数是A．1+iB．1−iC．−1+iD．−1−i【答案】B【解析】22(1i)1i1i2，∴共轭复数为1i，故选B．10．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i)2B．i2(1-i)C．(1+i)2D．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1i)2i，可知2(1i)为纯虚数，故选C．11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】(1i)(2i)A．1iB．13iC．3iD．33i【答案】B【解析】由题意2(1i)(2i)23ii13i，故选B．【名师点睛】（1）首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+i)(+i)()+abcd=acbd(+)i(,,,)adbcabcdR．（2）其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)ababR的实部为a、虚部为b、模为22ab、对应点为(,)ab、共轭复数为iab．12．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】复平面内表示复数i(2i)z的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】i(2i)12iz，则表示复数i(2i)z的点位于第三象限，所以选C．13．【2017年高考北京卷文数】若复数(1i)(i)a在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A．(,1)B．(,1)C．(1,)D．(1,)【答案】B【解析】(1i)(i)(1)(1)izaaa，因为对应的点在第二象限，所以1010aa，解得1a，故实数a的取值范围是(,1)，故选B．14．【2019年高考天津卷文数】i是虚数单位，则5|ii|1的值为______________．【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【答案】13【解析】由题可得5i(5i)(1i)|||||23i|131i(1i)(1i)．15．【2019年高考浙江卷】复数11iz（i为虚数单位），则||z=______________．【分析】本题先计算z，而后求其模．或直接利用模的性质计算．容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．【答案】22【解析】由题可得112|||1i|22z．16．【2019年高考江苏卷】已知复数(2i)(1i)a的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是______________．【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值．【答案】2【解析】由题可得2(2i)(1i)i2i2i2(2)iaaaaa，令20a，解得2a．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．17．【2018年高考天津卷文数】i是虚数单位，复数67i12i______________．【答案】4i【解析】由复数的运算法则得67i(67i)(12i)205i4i12i(12i)(12i)5．18．【2018年高考江苏卷】若复数z满足i12iz，其中i是虚数单位，则z的实部为______________．【答案】2【解析】因为i12iz，则12i2iiz，则z的实部为2．19．【2017年高考浙江卷】已知,abR，2(i)34iab（i是虚数单位），则22ab______________，ab______________．【答案】52【解析】由题意可得222i34iabab，则2232abab，解得2241ab，则225,2abab．20．【2017年高考天津卷文数】已知aR，i为虚数单位，若i2ia为实数，则a的值为______________．【答案】2【解析】由题可得i(i)(2i)(21)(2)i212i2i(2i)(2i)555aaaaaa为实数，所以205a，解得2a．【名师点睛】（1）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件的问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．（2）对于复数izab(,)abR，当0b时，z为虚数；当0b时，z为实数；当0,0ab时，z为纯虚数．21．【2017年高考江苏卷】已知复数(1i)(12i)z，其中i是虚数单位，则z的模是______________．【答案】10【解析】(1i)(12i)1i12i2510z，故答案为10．【名师点睛】（1）对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+bc+d=()()i(,)acbd+ad+bca,b,cdR．（2）其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+babR的实部为a、虚部为b、模为22ab、对应点为(,)ab、共轭复数为iab．世界上一成不变的东西，只有“任何事物都是在不断变化的”这条真理。——斯里兰卡过放荡不羁的生活，容易得像顺水推舟，但是要结识良朋益友，却难如登天。——巴尔扎克这世界要是没有爱情，它在我们心中还会有什么意义！这就如一盏没有亮光的走马灯。——歌德生活有度，人生添寿。——书摘