第六章-第七节-二重积分概念

一元函数积分学多元函数积分学重积分三、二重积分的性质第七节一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质第六章解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的有界闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,近似,求和,取极限”DD1)分割用任意曲线网分D为n个区域n,,,21以它们为底把曲顶柱体分为n个2)近似在每个3)求和nkkkkf1),(),(kkf),,2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk4)取极限kk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(kkfk),(kk则2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则M若非常数,仍可用其面密“分割,近似,求和,取极限”解决.1)分割用任意曲线网分D为n个小区域,,,,21n相应把薄片也分为小区域.Dyx2)近似中任取一点k在每个),,(kk3)求和nkkkk1),(4)取极限)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk则第k小块的质量yx两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,近似,求和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:如果在D上可积,),(yxf也常,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作Dyxyxfdd),(（由此式可以解释二重积分的几何意义）二重积分存在定理:若函数定理1.在D上可积.在有界闭区域D上连续,则引例2中平面薄板的质量:DyxMd),(Dyxyxdd),(三、二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k为常数)21d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxfDDdd1为D的面积,则Dyxfkd),(特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设D的面积为,MyxfmDd),(则有7.(二重积分的中值定理)),(),(fdyxfD证:由性质6可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理,至少有一点Dyxffd),(1),(在有界闭域D为D的面积,则至少存在一点使使上连续，因此例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它与x轴交于点(1,0),而域D位,1yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在D上1y2xo1D例2.判断积分的正负号.解:分积分域为,,,321DDD则原式=yxyxDdd11322yxyxDdd123221ddDyx)34(2323D32D11Dyxo0)21(3猜想结果为负但不好估计.舍去此项yxyxDdd13322例3.估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解:D的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即:1.96I210101010D10011021xyo