一维抛物线偏微分方程数值解法(2)

一维抛物线偏微分方程数值解法（2）上一篇文章请参看一维抛物线偏微分方程数值解法（1）解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）Ut-Uxx=0,0x1,0t=1（Ut-aUxx=f(x,t),a0)U(x,0)=e^x,0=x=1,U(0,t)=e^t,U(1,t)=e^(1+t),0t=1精确解为：U(x,t)=e^(x+t);Matlab程序：（此为向后差分法）function[upext]=pwxywxh(h1,h2,m,n)%欧拉向后差分法解一维抛物线型偏微分方程%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m,n分别为空间，时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差x=(0:m)*h1+0;t=(0:n)*h2+0;for(i=1:n+1)for(j=1:m+1)f(i,j)=0;endendfor(i=1:n+1)u(i,1)=exp(t(i));u(i,m+1)=exp(1+t(i));endfor(i=1:m+1)u(1,i)=exp(x(i));endr=h2/(h1*h1);for(i=2:n+1)%外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%a(1)=0;b(1)=1+2*r;c(1)=-r;d(1)=u(i-1,2)+h2*f(i,2)+r*u(i,1);for(k=2:m-2)a(k)=-r;b(k)=1+2*r;c(k)=-r;d(k)=u(i-1,k+1)+h2*f(i,k+1);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%enda(m-1)=-r;b(m-1)=1+2*r;d(m-1)=u(i-1,m)+h2*f(i,m)+r*u(i,m+1);for(k=1:m-2)%开始解线性方程组消元过程a(k+1)=-a(k+1)/b(k);b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k);d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k);endu(i,m)=d(m-1)/b(m-1);%回代过程%for(k=m-2:-1:1)u(i,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i,k+2))/b(k);endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1)p(i,j)=exp(x(j)+t(i));%p为精确解e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));%e为误差endend[upext]=pwxywxh(0.1,0.005,10,200);surf(x,t,e);xlabel('x');ylabel('t');zlabel('e');title('误差曲面');plot(t,e)误差较之前的欧拉向前差分格式增长了两倍[upext]=pwxywxh(0.1,0.05,10,20);plot(t,e)[upext]=pwxywxh(0.01,0.05,100,20);plot(t,e)[upext]=pwxywxh(0.01,0.01,100,100);plot(t,e)[upext]=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(x,e)[upext]=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(t,e)[upext]=pwxywxh(0.005,0.005,200,200);plot(x,e)X=1时，出现了误差？？?不是边界条件吗？不能理解这方法还是比前一种方法误差大呀不过可以随便改变时间、空间步长