正弦交流电路解读

第七章正弦交流电路当电路中的电源为正弦量时，电路中各部分的电压或电流也为正弦量，这样的电路就是正弦电路。交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生器所输出号电压都是随时间按正弦规律变化的。我们所使用的交流电也是正弦的。本章即讨论有关正弦电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法。§7-1正弦电压与电流前面所讨论是直流电路，其中的电流和电压的大小和方向都是不随时间变化的。0I,Ut正弦电压和电流都是按正弦规律周期性随时间变化的，其波形图可用正弦曲线来表示：0i,ut+_图中：“+”表示电流(或电压)为正值，称为正半周，电流(或电压)的实际方向与参考方向一致；“–”表示电流(或电压)为负值，称为负半周，实际方向与参考方向相反。0i,ut+_uiR正半周正弦电压和正弦电流等物理量，统称为正弦量。正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初值三个方面，它们分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。Tf1所以称频率、幅值和初相位为正弦量的三要素。一.频率与周期正弦量变化一次所需的时间(秒)称为周期T。每秒钟时间内变化的次数称为频率f。频率是周期的倒数，即工程中常用的一些频率范围：我国电力的标准频率为50Hz；国际上多采用此标准，但美国、日本等国采用标准为60Hz。fT22正弦量变化快慢的衡量有时还用角频率来描述。它与频率和周期的关系为有效值是从电流的热效应来规定的：在同一周期时间内，正弦交流电流i和直流电流I对同一电阻具有相同的热效应，就用I表示i的有效值。二.幅值与有效值正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如e、i、u分别表示电动势、电流和电压的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，如Em、Im、Um分别表示电动势、电流和电压的幅值。正弦交流电流的数学表达式为：i=Imsint可见，有效值的数学关系为均方根。TRdtiA02即对于R，在一个周期内，正弦交流电流i所作的功为同样，对于同一R，在一个周期时间T内，直流电流I所作的功为RTIA2应该有RTIRdtiAT202代入i=Imsint，并解出I，得21102202mTmTItdtITdtiTIsin同理，对于正弦交流电压2mEE2mUtUumsin其有效值(方均根)TdtuTU021正弦电动势e的有效值(方均根)为例题已知u=Umsint,Um=310V,f=50Hz，试求有效值U和t=0.1s时的瞬时值。解22023102mUUV010100310210sinsin).(ftUum三.相位及初相位正弦量是随时间变化的，选取不同的计时零点，正弦量的初始值就不同。为加以区分引入相位及初相位的物理量。+_正弦电流的一般表达式为其中(t+)为正弦电流的相位，称为初相位。0itωt例:已知正弦电流i的幅值为Im=10A，频率f=50HZ,初相位ψ=-45°，（1）求此电流的周期和角频率；（2）写出电流i的三角函数式，并画出波形图。解：（1）周期T=1/f=1/50=0.02s角频率ω=2Лf=2×3.14×50=314rad/s(2)三角函数式i=Imsin(ωt+ψ)=10sin(314t-45°)作波形图以ωt为横坐标较为方便，电流i的波形л/4ωt(rad)i(A)102л0定义=(1–2)为相位差或初相差。当=(1–2)=90°时，称u与i正交。当=(1–2)0时，称u比i越前角；)sin(1tUum对于)sin(2tIim当=(1–2)0时，称u比i滞后角；当=(1–2)=0时，称u与i同相。当=(1–2)=180°时，称u与i反相(相位相反)，或相差180°两个同频率正弦量的相位比较：(a)(b)(c)(d)tttt0000iiuuuu1u2ii2i1iuiuui12122图示各波形§7-2.正弦量的相量表示法正弦量具有幅值、频率及初相位三个基本特征量，表示一个正弦量就要将这三要素表示出来。表示一个正弦量可以多种方式，这也正是分析和计算交流电路的工具。①三角函数表示法：)sin(tUum0ut+_②正弦波形图示法:(见右图)③相量表示法。用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。在复数平面建立直角坐标系OX为实轴、OY为虚轴。设在复平面上一复数A(a,b).在直角坐标系上可表示为.A=a+jb用极坐标系则表示为.A=r/j+10Aab变换关系为：22barabarctg或：cosrasinrb例：已知复数A1=6+j8，A2=4245°试计算它们的和(A1+A2)、积(A1·A2)。解：A1=6+j8=1053.1°A2=4245=4+j4采用代数形式计算加减：A1+A2=6+j8+4+j4=10+j12采用极坐标形式计算乘除：A1·A2=1053.1°·4245°=56.5698.1°※虚单位j的数学意义和物理意义j×j=j2=–1oxjyj1jj2–1–jj3j41•同理jj314j及由此，可认为虚单位j是复平面上角度为90°的旋转因子。乘以j是向正方向旋转90°；除以j是向负方向旋转90°。例题试写出表示uA=2202sin314tV,的相量，并画出相量图。解分别用有效值相量uB=2202sin(314t–120º)V,uC=2202sin(314t+120º)V,AUBUCU表示uA、uB和uC则VUA2200/220VjUB)2321(220120/220VjUC)2321(220120/220它们的相量图为：120120AUBUCU例对如图电路，设AttIim)45sin(100)sin(111AttIim)30sin(60)sin(222试求总电流i。解ii1i2本题可用两种方法求解计算。1.用相量求和I1m=I1m1=10045=100(cos45°+jsin45°)=502+j502AI2m=I2m2=60-30=60(cos-30＋jsin-30°)=303-j30AIm=I1m+I2m=502+j502A+303-j30A=122.66+j40.7=129.2318.36°A所以练习P2157－2－1作业P2517-17-3(1)(2)§7-3.R、L及C的交流电路理想元件交流电路与直流电路对电阻、电感或电容的作用结果都不同。电容对直流电路相当于开路；电感对直流电路相当于短路。而在交流电路中电容有充放电现象存在，有电流通过电感有自感电动势出现而阻碍电流变化。一.电阻与电阻电路如图，选择电流和电压的参考方向。根据欧姆定律可得RiuRuiiRu或即电阻端电压与其电流成正比。若设tIimsin则tUtRIummsinsin显然mmRIU或IRU如果用相量表示，将有比较上面，可知交流电路中的电阻，其电流和电压相位相同。这就是相量形式的欧姆定律。也可写成tIimsintUumsinRUImmIRU0/mmII0/II或0/mmUU或0/UU且mmIRU或Riu..UI或RUI电阻在交流电路中的功率特性(1)瞬时功率：tIUiuppmmR2sin)2cos1(2tIUmm)2cos1(tIU瞬时功率是在一个直流分量UI的基础上，另加一个幅值为UI的正弦量。但总有p0。0tiuu,iPpPm=UmImP=Pm=UI12p(2)平均功率：在一个周期内，电路消耗电能的平均速率，即瞬时功率的平均值，称为平均功率。TTdttUITpdtTP00)2cos1(11交流电路中电阻元件的平均功率为RURIIU/22例一100电阻接入50Hz、有效值为10V的电源上，问电流是多少？若频率改为5000Hz呢？问题：电阻与频率有关吗？mAARUI1001.010010tIimsiniueLiueLLdtdiLeuLdtdiLu当设电流为参考相量时，则电感端电压为二.电感与电感电路计算得比较上面，在电感元件电路中，在相位上电压比电流超前90(相位差=+90)。tLIdttIdLummcos)sin()90sin()90sin(tUtLImmiu2t写成相量，有0/.mmII90/.mmUU电感电路相量形式的欧姆定律前已导出0/.mmII90/.mmUU或其中LIUmmLjLIUmm90/..190/190jej由前两式得：其中Lj其值与频率成正比。190/190jej=XL称为感抗，单位为欧姆对于电感元件LIIXULmmLmILjIjXU...LIXIUmLmm...ILjIjXUL电感电路的功率计算（1）瞬时功率)90sin(sinttIUuippmmLtIUttIUmmmm2sin2cossintIU2sin可见，p是以幅值为UI、角频率为2t变化的交变量。当u与i的瞬时值为同号时，p0，电感元件取用功率(为负载)，磁能增加；当u与i的瞬时值为同号时，p0，电感元件发出功率(相当于电源)，电感元件的磁能减少。0uL，iL，pLuLp＋＋－－iLt4T4T4T4T电感元件的功率曲线图不停的吸放能量（2）平均功率为：02sin111000TTTtdtUITuidtTpdtTPLXIIUQ2可见，电感元件在电路中没有能量损耗，只与电源间进行能量交换。这种能量交换的规模（最大值），用无功功率Q来衡量。电感电路的功率计算即电感元件的平均功率为零。无功功率的单位是乏(Var)或千乏(kVar)。（3）规定无功功率为瞬时功率pL的幅值UI，即为加以区别平均功率亦称为有功功率。例一电感交流电路，L=100mH，f=50Hz，(1)已知tisin27A，求电压；(2)已知VU30/127.，求电流，解u.I并画相量图。(1)由题知感抗为XL=L=2×50×0.1=31.4则由相量形式的欧姆定律知：VILjU90/2200/74.3190/1..Vtu)90sin(2220(2)电流为ALjUI120/490/4.3130/127..电流为相量图分别为：Ati)120sin(2490/220.U0/7.I30/127.U120/4.I(1)(2)三.电容元件及其电路当一线性电容元件与正弦电源联接时，选择u及i的参考方向如右图：iuCdtduCdtdqi如果电容器加正弦电压tUumsin则tCUdtduCimcos)90sin(tCUm)90sin(tIm可见，当电容器所加电压为正弦量时，其中通过的电流也为正弦量。在电容元件的电路中，电流比电压上的相位要越前90°(=–90°)。由上面讨论可知CUImm或CmmXCIUIU1ui2相位差：定义为电压与电流的相位差写出电压及电流的相量表示式其中CXC1称为电容的容抗0/.mmUU90/.mmII及CUImm并考虑CjCIUIUIUmmmm190/190/0/90/0/..可得为电容电路相量形式的欧姆定律...IjXCjIUC或对于电容元件CIIXUC1mmCmICjIjXU...1CIXIUmCmm1...1ICjIjXUC电容元件的功率特性ui2电容电路的功率瞬时值为)90sin(sinttIUuippmmCtUIttIUmm2sincossin电容电路的平均功率为02sin1100TTtdt