线性代数考研习题归类汇总行列式1005

考研数学要求及线性代数要求1、考研数学分数学一、数学二、数学三；包括：高等数学（微积分）；线性代数；概率论与数理统计.考研数学要求及线性代数要求2、数学一（56%、22%、22%）；数学三（56%、22%、22%）；3、数学二（78%、22%、0%）要求：线性代数一~六章全部内容特别：数学二、三对向量空间和坐标变换不做要求）；线性代数的六大部分内容行列式、矩阵、向量及向量空间、线性方程组、特征值和特征向量、二次型复习方式：按数学一要求，分章进行复习；考研数学基础知识复习——线性代数一、基本内容复习即：考试要求的基本概念、性质、定理、公式、方法等；二、典型题型的分析及举例；考研数学基础知识复习——线性代数第一章行列式一、行列式的基本内容(1)n级(阶)排列：n个自然数n,,2,1组成的一个无重复的有序数组niii21称为一个n级(阶)全排列.1、排列与逆序n个自然数的n级(阶)全排列共有!n个（种）.一、行列式的基本内容——1、排列与逆序(2)逆序:在一个n级(阶)排列中,如果一个较大的数排在较小的数前面(左面),则称这两个数构成一个逆序；一个排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数.记为:)(21niii.一、行列式的基本内容——1、排列与逆序若)(21niii为奇数,则称排列niii21为奇排列；若)(21niii为偶数,则称排列niii21为偶排列；(3)对换:在排列niii21中,交换任意两个数ti与si的位置,称为对排列的一次对换.一、行列式的基本内容——1、排列与逆序对换改变排列的奇偶性，排列的一次对换可通过奇数次相邻对换实现.注意：一次相邻对换后，全排列逆序数增或减1.故：相邻对换改变全排列的奇偶性.一、行列式的基本内容——1、排列与逆序n个自然数的!n个n级(阶)排列中,奇、偶排列各占一半.(4)逆序数)(21niii的计算nkknnititititiii23221)()()()()(,)(kit是在排列niii21中，排在ki前面比ki大的数之个数.一、行列式的基本内容——1、排列与逆序全排列逆序数的另一计算法：1112121)()()()()(nkknniiiiiii,)(ki是在niii21中,排在ki后面的比ki小的数的个数.332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa333231232221131211aaaaaaaaa.2112221122211211aaaaaaaaD一、行列式的基本内容——2、阶行列式的定义二阶行列式的定义：三阶行列式的定义：一、行列式的基本内容——2、阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnjjjjjjjaaa211121)()1(（行）niiiiiiinnnaaa21)(2111)1(（列）n阶行列式的定义：一、行列式的基本内容——2、阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211记：)det(ijaD或||ijaD.都表示第i行第j列元素为ija的行列式.nnnnjijijijjiiaaa221111)()()1(.（行与列）一、行列式的基本内容——3、行列式的基本性质（1）行列互换（所得的行列式称为转置行列式）后，行列式的值不变；（3）如果行列式有两行（列）相同，则行列式的值为零；（2）互换两行（列），行列式的值变号；一、行列式的基本内容——3、行列式的基本性质（5）如果行列式有一行（列）元素全为零，则行列式的值为零；（4）某行（列）的公因子可以提到行列式符号外面；（6）如果行列式有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为零；（7）如果行列式有一行（列）的所有元素都可以表示为两项之和，则该行列式等于两个行列式之和；一、行列式的基本内容——3、行列式的基本性质（8）某行（列）元素的k倍加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变；一、行列式的基本内容——4、行列式按行（列）的展开定理对于n阶行列式),()det(ijijaaD，定义元素ija的余子式为ijM，代数余子式ijjiijMA)1(，则有：,0,22111DAaAaAaAanknjkjkjikijni.kjkj,0,22111DAaAaAaAanknjkjkjikijni.kjkj一、行列式的基本内容——5、重要结论（1）主（次）对角行列式；.0000002121nn..)1(000000212)1(21nnnn一、行列式的基本内容——5、重要结论（2）上（下）三角行列式：.000221122211211nnnnnnaaaaaaaaa..000221121222111nnnnnnaaaaaaaaa一、行列式的基本内容——5、重要结论（3）范德蒙行列式：)(111111211222212222121ijnjinnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV.共有2)1(1)2()1(nnnn个括号相乘.——6、解线性方程组的克莱姆法则如果线性方程组：)1(22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即,0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，一、行列式的基本内容——6、解线性方程组的克莱姆法则解可以表为：.,,,,332211DDxDDxDDxDDxnn其中：nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111,111——6、解线性方程组的克莱姆法则定理1如果线性方程组（1）的系数行列式不为零，则（1）一定有解,且解是唯一的.定理2如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.对于齐次线性方程组：2000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa一、行列式的基本内容——6、解线性方程组的克莱姆法则定理3如果齐次线性方程组（2）的系数行列式不为零，则齐次线性方程组（2）没有非零解（只有零解）.定理4齐次线性方程组（2）有非零解的充分必要条件为：系数行列式为零.二、典型题型分析及举例题型I：抽象行列式的计算说明：通过行列式的计算，考查行列式的定义及性质.例1.1（1）确定ki,，使9561274ki为偶排列.（2）1425433152aaaaa是否为五阶行列式)det(5ijaD中的项，其前面应置什么符号？二、典型题型分析及举例——题型I：抽象行列式的计算设33||ijaD，ijA为ija的代数余子式，且ijijaA(3,2,1,ji)，011a，求证：.0D.例1.2二、典型题型分析及举例——题型I：抽象行列式的计算已知四阶行列式D的第二行元素分别为：4,2,0,1，第四行元素对应的余子式依次为：4,,10,5a，求a.二、典型题型分析及举例——题型I：抽象行列式的计算例1.3计算行列式323995212983312031D.二、典型题型分析及举例——题型II：低阶行列式的计算例1.4设,,是方程03qpxx的三个根，计算行列式D.二、典型题型分析及举例——题型II：低阶行列式的计算例1.5设,,是方程023qpxx的三个根，计算行列式：D，二、典型题型分析及举例——题型II：低阶行列式的计算例1.5(续)四阶行列式44332211400000000ababbabaD的值等于（）.（A）43214321bbbbaaaa；（B）43214321bbbbaaaa；（C）))((43432121bbaabbaa；（D）))((41413232bbaabbaa.——题型II：低阶行列式的计算例1.6计算五阶行列式aaaaaaaaaD110001100011000110001.二、典型题型分析及举例——题型II：低阶行列式的计算例1.7yyxxD2222222222222222.二、典型题型分析及举例——题型II：低阶行列式的计算例1.8设3256411222245233355554321||A，ijA为元素ija（5,4,3,2,1,ji）的代数余子式.求（1）333231AAA；（2）3534AA.——题型II：低阶行列式的计算例1.9设2513422111645731122214325D，求（1）333231AAA；（2）3534AA.其中ijA为元素ija（5,4,3,2,1,ji）的代数余子式.——题型II：低阶行列式的计算例1.10设4321630211118751D，求44434241AAAA，其中ijA为元素ija（4,3,2,1,ji）的代数余子式.二、典型题型分析及举例——题型II：低阶行列式的计算例1.11计算229132513232213211xxD.二、典型题型分析及举例——题型II：低阶行列式的计算例1.12设行列式2235007022220403D,求第四行的各元素余子式之和.——题型II：低阶行列式的计算例1.13设347534453542333322212223212)(xxxxxxxxxxxxxxxxxf,则方程0)(xf根的个数为：（）.(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.——题型II：低阶行列式的计算例1.14计算：12318192021217181932116171819181721220191832120D.二、典型题型分析及举例——题型III：高阶行列式的计算例1.15计算下列n阶行列式：0)1(321102113011321nnnnnnnDn——题型III：高阶行列式的计算例1.16aaaaDn111111111111.二、典型题型分析及举例——题型III：高阶行列式的计算例1.17axaaaaxaaaaxDn二、典型题型分析及举例——题型III：高阶行列式的计算例1.18nDn222232222222221.二、典型题型分析及举例——题型III：高阶行列式的计算例1.191210001001001111nnaaaaD，其中0110naaa.二、典型题型分析及举例——题型III：高阶行列式的计算例1.20计算niaacacacbbbaDinnnn,,2,1,0,00000022112101.二、典型题型分析及举例——题型III：高阶行列式的计算例1.21计算下列n阶行列式：122321112154314321321nnnnnnnnnnDn.二、典型题型分析及举例——题型III：高阶行列式的计算例1.22计算n阶行列式1112212221212121nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD.二、典型题型分析及举例——题型III：高阶行列式的计算例1.23nnnnnaxaaaaaxaaa