同济版大一高数第十章习题课9

1高等数学第十八讲2习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用第十章重积分的计算及应用3一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法4二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号练习题4.利用重积分换元公式P1811(总习题十);P1824,7(2),9解答提示:(接下页)51、二重积分的定义定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.记作是定义在有界区域D上的有界函数,２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积．二重积分是柱体的体积的负值．6性质１为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf３、二重积分的性质性质３对区域具有可加性.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf)(21DDD性质４为D的面积.1DDdd若性质５若在D上，),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf7设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则DMdyxfm),(（二重积分估值不等式）性质６设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得),(),(fdyxfD.性质７（二重积分中值定理）8特别：轮换对称：若D关于直线对称，则.xydyxfD),(dxyfD),(dxfD)(dyfD)(例如计算：dxID2dyID2222:ayxDdyxID)(212244a9４、二重积分的计算,:bxaD).()(21xyx［X－型］.),(),()()(21DbaxxdyyxfdxdyxfX-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴（１）直角坐标系下Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf,:dycD).()(21yxy［Y－型］的直线与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点.10.)sin,cos()()(21rdrrrfd1)sin,cos(Drdrdrrf,:1D).()(21r（２）极坐标系下.)sin,cos()(0rdrrrfd,:2D).(0r2)sin,cos(Drdrdrrf3)sin,cos(Drdrdrrf.)sin,cos()(020rdrrrfd,20:3D).(0r11、重积分的对称定理5两个方面。dyxfID),(1．若关于轴对称，Dy时，),(),(yxfyxf0I当时，),(),(yxfyxf1),(2DdyxfI0|),(1xDyxD其中运用对称性时，当则有必须兼顾被积函数与积分区域两个方面的对称性要相匹配，才能利用Dyx),(对126、重积分的应用(1)体积的体积为之间直柱体与区域在曲面Dyxfz),(DdxdyyxfV.),(设S曲面的方程为：).,(yxfz曲面S的面积为;122dxdyAxyDyzxz(2)曲面面积13(3)质心若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度14如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),,(DoyxyxIdd),(则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx(4)转动惯量15,2dvzIxy(4)转动惯量设物体占有空间闭区域，在点),,(zyx处的密度为),,(zyx，假定),,(zyx在上连续，则该物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为,2dvxIyz,2dvyIzx,)(22dvzyIx,)(22dvxzIy,)(22dvyxIz.)(222dvzyxIo16例1计算积分其中D由所围成.提示:如图所示xy224246oyx,12DDD内有定义且在2),(DyxyxfDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx连续,所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD17D解围成．由其中计算2,1,.22xxyxyDdyxDxxDdyydxxdyx122122212112)1(dxyxxx213)(dxxx.49.21,1:xxyxD例2.18解围成．由其中计算2,,2.222xxyxyDdyxxID22sin4cos00cosIddrd042lncos.2ln:D例3.0422sin0cosr40sin2cosd19例4.计算,422Ddyx其中9:22yxD解:对于含有绝对值的函数,通常分区域积分422yx,422yx,)(422yx9422yx422yx原式=42222])(4[yxdyx942222)4(yxdyx利用极坐标162220rdr3222rdr2414(94)20例5.计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成.21yxeyxDyxdd122(2)积分域如图:o1yx11D2Dxyxy,xy将D分为,,21DDyxeyxDyxdd22200dd1112xyxx添加辅助线利用对称性,得例5.计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(2)D由直线围成.22xy1o1xy(2)提示:21,DD两部分1DyxyxDdd)(22说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.xy作辅助线2D将D分成Dyxdd22)12(32,dd)22()2(22yxxyyxID在第一象限部分.其中D为圆域23oyxaaDyxad23222/)(:0;0.Dxaya其中解：21DD原式daa402]sin2cos1[2例6计算用极坐标计算。cos02/32240)(2arardrd12Dxy对称。如图D是关于直线a62Dxy1Dcosar24例7.计算积分10lnxdxxxab解:原式bayydxbayxdxyd10bayydyx1011baydy11ab11ln10xd25例8计算221DIxyd}10,10),({yxyxD122222(1)(1)DDIxydxyd，其中解：DDDdyxdyxdyx11)1()1()1(22222211132200002212ddxdxdy211243431122222()2DDDDdxydxdd1orx11D2D266、三重积分的定义定义.设,),,(,),,(zyxzyxfkkknkkvf),,(lim10存在,),,(zyxfvzyxfd),,(称为体积元素,vd.dddzyx若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作下列“乘积和式”极限记作277、三重积分的几何意义表示空间区域的体积．时当Vdvzyxf,1),,(8、三重积分的性质类似于二重积分的性质．28投影法方法1.三次积分法设区域:bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxdzxyD),(2yxzz),(1yxzzDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),,(dd)(2xyxoyDbax)(1xy9、三重积分的计算29ab方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为baZDyxzyxfdd),,(ZDbayxzyxfzdd),,(dzzDzd记作30.,sin,coszzryrx(２)柱面坐标.),sin,cos(),,(dzrdrdzrrfdvzyxf,dzrdrddv.cos,sinsin,cossinrzryrx,sin2ddrdrdvdxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf(３)球面坐标31dvxf)(例如计算：dvxI2dvzyxI)(31222设2222:azyx轮换对称：dvyf)(dvzf)(2222:azyxadrrdd04020sin3115yzxa325)已知,324:222zzyx则123(,,)()III提示:,14)1(4:222zyx其形心为其体积为316316,0,0336)设在柱坐标系下,有则)()(r提示:dvyxf)(22rdrfrr)()1(2102)()1(22rfrrrzdrdrrfd1010220)(34例1：2222:,0,0,0.xyzaxyz计算dvzyxI)(解由轮换对称有dvxIdvydvz设2222:zDxyazdvzI3zDyxddzzad30adzzaz022)(434163ayzxa00.xy35.1:222zyxdvez，计算解2221xyz，上dvedvezz2102zDzedzdxdy102)1(2dzezz.2例2被积函数仅为z的函数，截面Dz为圆域：故采用“先二后一”的方法。zxoyzD36例3.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(y