不等式1：性质和比大小-答案

不等式1：不等关系和不等式考点：不等式的定义、性质基本知识：1．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.另外，若b＞0，则有ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜1⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．基本方法：1.作差法：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．2.待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．3.常用性质(1)倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；②a＜0＜b⇒1a＜1b；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；②假分数的性质：ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．例1.已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析a＞b/⇒ac2＞bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.答案B例2.给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是()．A．①②B．②③C．③④D．①④解析当c＝0时，ac2＝bc2，∴①不正确；a＞|b|≥0，a2＞|b|2＝b2，∴②正确；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·a＋12b2＋34b2＞0，∴③正确；取a＝2，b＝－3，则|a|＞b，但a2＝4＜b2＝9，∴④不正确．答案B考点：不等式性质的运用基本方法：1.同向可加性与同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式．2.同向可加的应用：由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．例1.若－π2αβπ2，则α－β的取值范围为().【解析】因为－π2απ2，－π2－βπ2，所以－πα－βπ.又αβ，则α－β0，所以－πα－β0.例2.已知－12x－11，则2x－1的取值范围是____________．解析：－12x－11⇒0x1⇒1x1⇒2x－11，填(1，＋∞)．例3.已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[审题视点]可利用待定系数法寻找目标式f(－2)与已知式f(－1)，f(1)之间的关系，即用f(－1)，f(1)整体表示f(－2)，再利用不等式的性质求f(－2)的范围．解f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.∴m＋n＝4，m－n＝－2，∴m＝1，n＝3.∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.例4.若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.由x＋y＝1，x＋2y＝3，解得x＝－1，y＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.考点：做差、做商、特殊值比较大小基本方法：1.对于整式可采用作差法；对于幂可采用作商法比较；当不能直接下结论时，采用分类讨论．2.题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．3.(1)作差比较法的依据是“a－b0⇔ab”，步骤为：①作差；②变形；③定号；④下结论；常采用配方，因式分解，有理化等方法变形；(2)作商法的依据是“ab1，b0⇒ab”，步骤为：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)特例法，对于选择、填空题可用特例法选出正确答案．例1.【做差法】(2011·陕西)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2D.ab＜a＜a＋b2＜b例2.若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系是()．A．|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|B．|loga(1－x)|＜|loga(1＋x)|C．不确定，由a的值决定D．不确定，由x的值决定