数理方程第四章--格林函数法

HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分1第四章格林函数法分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题，这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有限的积分形式，十分便于理论分析和研究。HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分2格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分34.1格林公式及其应用4.1.1基本解对拉普拉斯方程,其球坐标形式为：0zzyyxxuuuu0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrr(4.1.1))(rVu求方程(4.1.1)的球对称解(即与和无关的解),则有：0)(2drdVrdrd其通解为：2121,,0(,)(ccrcrcrV为任意常数)。若取0,121cc,则得到特解rrV1)(0,称此解为三维Laplace方程的基本解,它在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用.HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分4对二维拉普拉斯方程,其极坐标形式为:0yyxxuuu(4.1.2))(rVu求方程(4.1.2)的径向对称解(即与无关的解),则有：其通解为：2121,,0(,ln)(ccrcrcrV为任意常数)。若取0,121cc,则得到特解rrV1ln)(0,称此解为二维Laplace方程的基本解.01122222urrurru0dd1dd22rVrrVHUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分54.1.2格林公式由高斯公式dVzRyQxPSdznRynQxnP),cos(),cos(),cos(,则得到格林第一公式：令zvuRyvuQxvuP,,dSnvudVzvzuyvyuxvxuvdVu)(dSnuvdVzvzuyvyuxvxuudVv)(将以上两公式相减，得到格林第二公式：dSnuvnvudVuvvu)()(调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分64.1.3调和函数的积分表达式由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：202020)()()(110zzyyxxrMM除在0M点外处处满足三维Laplace方程0u，于是有定理：若函数u在上有一阶连续偏导数，且在内调和，则dSnMurrnMuMuMMMM)(1)1()(41)(000调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分7若函数u在上有一阶连续偏导数，且在内满足Poisson方程，则同样有FudVrMFdSnMurrnMuMuMMMMMM000)(41)(1)1()(41)(04.1.4调和函数的性质性质1.设),,(zyxu是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则,0dSnu其中n,的外法线方向。是证明只要在Green公式中取即证。1v注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分8思考：Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么？.|,0fnuu.0dSfdSnu性质2(平均值定理)设函数)(Mu在区域内调和，0M是内任意一点，若a0M是以为中心，a为半径的球面，此球完全落在区域的内部，则有audSaMu2041)(证明：由调和函数的积分表示：dSnurrnuMua1)1(41)(0及由性质1，有HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分9上式称为调和函数的球面平均值公式。011dSnuadSnuraa又因为，在a上有2211)1(arrn，所以.41)(20audSaMu性质3(极值原理)设函数),,(zyxu在区域内调和，它在上连续且不为常数，则它的最大值与最小值只能在边界上达到。推论1设在内有vuvu,;0,0在上连续且在边界上有vu，则在内有.vu推论2Dirichlet问题的解是唯一的。),,(),,(,0zyxfuzyxuHUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分10证明：（反证法）假设u在内某点1M达到最大值，以1M为中心，任意长R为半径作球Rk,使它完全落在区域中，记Rk的球面为RS,则在RS上有)()(1MuMu.这是因为，若M，使)()(1MuMu,则由函数的连续性，必可找到此点在球面RS上的一个邻域，在此邻域中，也有)()(1MuMu。因此有)()(41)(411122MudsMuRdsMuRRS这与平均值性质矛盾。由于R的任意性，则在球Rk中恒有)(1Muu.任取N,在中作连结1M，N两点的折线L，记L到的边界的最小距离为d，以1M为中心，小于d的数为半径在内作求1K，则在1K上)()(1MuMu。设2M是1K的球面1S与折线L的交点，则)()(12MuMu。以2M为中心，以小于d的数为半径在内作球2k，在2k上)()()(12MuMuMu，…,n次后，点N一定包含在以某点nM为中心,半径小于d的球nk内,因而)()()(1MuMuNun,由N的任意性,就得到整个上有)()(1MuNu,这与u不为常数矛盾.RS如,图4.1HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分11图4.1M1M2M3MnNlK1K2KnS2S1SnHUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分124.2格林函数由于调和函数有积分表示:dSnMurrnMuMuMMMM)(1)1()(41)(000又因为Dirichlet边值问题fuxu,,0的解唯一,故希望将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中，unu在边界上的值虽然已知,而在边界上的值却不知道.那么,能否作为边界条件加上的值呢？|nu因为,此时的解已经是唯一的了.那么只有想办法去掉|nu为此，引入格林函数的概念。显然这是行不通的，(4.2.1)HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分13格林函数的物理背景r)(2Mu1()4uMr02)(rrMu01()4MMuMr0原点处点电荷电量，r0点电荷密度M),,(zyx处点电位00M),,(000zyx0r即处点电荷电量00rr点电荷密度M),,(zyx处点电位1M101rrF112)(rrFMu11()4MMFuMr2M202rrF222)(rrFMu22()4MMFuMr11222)(rrrrFFMu121244MMMMFFrr0()F2()()uMF001()()d4MMuMFVr20uHUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分144.2.1格林函数的定义设在内有vuvu,;0,0在上有一阶连续偏导数，则由格林第二公式有0)(dSnuvnvu(4.2.2)将（4.2.1）和(4.2.2)两式加起来：dSnuvrrnnvuMuMMMM)41()]1(41[)(000(4.2.3)选择调和函数v满足041MMrv,于是有：dSvrnuMuMM)41()(00(4.2.4)HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分15记vrMMGMM041),(0(4.2.5)则有dsnGuMu)(0(4.2.6)称),(0MMG为Laplace方程的格林函数。若),(0MMG上有一阶连续偏导数，则当Dirichlet问题且在),,(),,(,0zyxfuzyxu上具有一阶连续偏导数的解存在时，解可以表示为在dSnGzyxfMu),,()(0(4.2.7)存在HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分16对Poisson方程的Dirichlet问题上存在具有一阶连续偏导数的解，则解可以如果在fuzyxFu),,(,表示为FGdVdSnGfMu)(0由此可见,求解Dirichlet问题,关键是求Green函数(4.2.5),其中v满足一个特殊的Dirichlet问题：041,0)(MMrvMMv(4.2.8)称由函数v确定的格林函数为第一边值问题的格林函数。HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分174.2.2格林函数的性质1.格林函数),(0MMG在除去点0MM外处处满足Laplace方程，当0MM时，,),(0MMG其阶数与相同。01MMr2.在边界上，格林函数恒等于零：.0),(0MMG3.在区域内成立不等式：041),(00MMrMMG（用极值原理证明）4.),(),(1221MMGMMG（由格林第二公式证明）1MdSnG5.HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分184.3格林函数的应用用镜象法求特殊区域上的函数。4.3.1上半空间内的Green函数及Dirichlet问题求解上半空间0z内的Dirichlet问题先求上半空间0z内的Green函数yxyxfuzuuuzzzyyxx,),,(0,00（4.3.1）),(0MMG，即求解问题00,,0),(000zGzMMMMGHUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分19zddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MM在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。HUST数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法下午1时8分20zyx0图4.2M0(x0,y0,z0)M1(x0,y0,-z0)M(x,y,z)101141),(0MMMMrrMMG于是，半空间上的格林函数为(4.3.2)从而，问题(4.3.1)的解可表示为