线性代数向量空间自测题(附答案)

《第四章向量空间》自测题（75分钟）一、选择、填空（20分，每小题4分）1.下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R上一个向量空间的是（）。（A）Rn中，分量满足x1+x2+…+xn=0的所有向量；（B）Rn中，分量是整数的所有向量；（C）Rn中，分量满足x1+x2+…+xn=1的所有向量；（D）Rn中，分量满足x1=1，x2，…，xn可取任意实数的所有向量。2．设R4的一组基为,,,,4321令414433322211,,,，则子空间}4,3,2,1,|{44332211iFkkkkkWi的维数为，它的一组基为。3.向量空间Rn的子空间},0|)0,,,,{(1121121RxxxxxxxWnn的维数为，它的一组基为。4.设W是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即RaaaaaWij22121211，则它的维数为，一组基为。5．若A=100021021ba为正交矩阵，且|A|=－1，则a=，b=。二、计算题（60分）1.（15分）设R3的两组基为：TTT)1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321和TTT)1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321，向量α=（2，3，3）T（1）求由基321,,到基321,,的过渡矩阵。（2）求α关于这两组基的坐标。（3）将321,,化为一组标准正交基。2.（15分）在R4中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，0111353033304523432143214321xxxxxxxxxxxx3．（20分）已知321,,是3维向量空间R3的一组基，向量组321,,满足3132322132131,,（1）证明：321,,是一组基。（2）求由基321,,到基321,,的过渡矩阵。（3）求向量3212关于基321,,的坐标。4．（10分）已知A是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，求|A－E|。三、证明题（20分）1.（5分）设0321kkk，且031kk。证明：),(),(LL。2.（5分）设A为正交矩阵，证明：A*为正交矩阵。3．（10分）设A、B为n阶正交矩阵，且|A||B|。证明：A+B为不可逆矩阵。参考答案一、选择、填空1．A2．dimW=3，一组基为.,,3213．dimW=n-2，一组基为TnTT)0,1,0,,0,0(,)0,0,,1,0,0(,)0,0,,0,1,1(2214．dimW＝3，一组基为0110,1000,0001。5．a=21，b=21二、计算题1．(1)基321,,到基321,,的过渡矩阵:112110210121(2)α关于321,,的坐标是（0，1，1）α关于321,,的坐标是（1，1，2）（3）02121,626161,313131。2．解空间的维数是2，一组基为TT)1,0,37,92(,)0,1,38,91(21。3．（1）提示：证明321,,与321,,等价，从而r(321,,)=3，线性无关。（2）基321,,到基321,,的过渡矩阵为001211010。（3）向量关于基321,,的坐标为(2，-5，1)。4．0)1(121EAEAEAEAAEAEAEATkTT。三、证明题1.提示：证明两个向量组等价，即},{},{，则生成子空间),(),(LL。2.证明：EAAAAAAAAAAATTTT11211*)(*。3．提示：0111BABABABABAEABA