2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习讲义第十二章概率随机变量及其分布12.5

§12.5二项分布及其应用基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.条件概率及其性质知识梳理(1)一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的.在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.(2)条件概率具有的性质①；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.PABPAnABnA条件概率0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)(1)设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B_____————.(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.(3)若A与B相互独立，则，，也都相互独立.2.相互独立事件A与BA与BA与B相互独立P(B)P(A)P(B)(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为.(2)一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝.此时称随机变量X服从，记为，并称p为成功概率.3.二项分布Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，nn次独立重复试验二项分布X～B(n，p)超几何分布与二项分布的区别(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；(2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复).知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.()(2)相互独立事件就是互斥事件.()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率.()思考辨析××××√考点自测1.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为答案解析第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，A.38B.27C.28D.37所以再摸到红球的概率为27.2.(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是A.49B.29C.427D.227答案解析所求概率P＝C13·(13)1·(1－13)3－1＝49.133.(2015·课标全国Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案解析3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.4.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________.答案解析已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，得P＝0.60.75＝0.8.要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，0.85.(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.答案解析记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，又P(AB)＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－13)(1－14)＝12，131412“乙去北京旅游”为事件B，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率为1－P(AB)＝1－12＝12.题型分类深度剖析题型一条件概率例1(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于A.18B.14C.25D.12答案解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，P(B|A)＝PABPA＝14.(2)如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝____.14答案解析AB表示事件“豆子落在△OEH内”，P(B|A)＝PABPA＝△OEH的面积正方形EFGH的面积＝14.引申探究解答1.若将本例(1)中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(B)＝C23C25＝310，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝310，所以P(B|A)＝PABPA＝PBPA＝34.2.在本例(2)的条件下，求P(A|B).解答由题意知，∠EOH＝90°，故P(B)＝14，又∵P(AB)＝△OEH的面积圆O的面积＝12×1×1π×12＝12π，∴P(A|B)＝PABPB＝12π14＝2π.条件概率的求法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A).(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.思维升华PABPAnABnA跟踪训练1(2016·开封模拟)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为A.310B.29C.78D.79答案解析例2设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：解答题型二相互独立事件的概率T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解答求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.思维升华跟踪训练2(2017·青岛月考)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22千米的地铁票价如下表：解答现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米.已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千乘坐里程x(单位：km)0x≤66x≤1212x≤22票价(单位：元)345米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列.解答题型三独立重复试验与二项分布命题点1根据独立重复试验求概率例3甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；解答1223(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X的分布列.解答命题点2根据独立重复试验求二项分布例4一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；解答12(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解答设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.思维升华跟踪训练3(2016·沈阳模拟)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖.(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；解答13(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列.解答典例(1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.(2)某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________.独立事件与互斥事件现场纠错系列18错解展示现场纠错纠错心得(1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”.(2)区分独立事件与n次独立重复试验.371423课时作业1.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于答案解析12345678910111213A.12B.14C.16D.18由古典概型知P(A)＝12，P(AB)＝14，则由条件概率知P(B|A)＝PABPA＝1412＝12.√2.(2016·长春模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于答案解析A.C1012(38)10(58)2B.C912(38)9(58)2C.C911(58)9(38)2D.C911(38)10(58)2√因此P(X＝12)＝38C911(38)9(58)2＝C911(38)10(58)2.“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，123456789101112133.已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率A.事件A，B同时发生B.事件A，B至少有一个发生C.事件A，B至多有一个发生D.事件A，B都不发生答案解析√P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)·P(B)是A，B不同时发生的概率，即事件A，B至多有一个发生的概率.12345678910111213A.34B.23C.45D.710√4.甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为答案解析12345678910111213A.56B.45C.3132D.12√∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵