导数题型五-利用导数证明不等式

1导数习题题型分类精选题型五利用导数证明不等式（学生用）不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些简单的不等式。通过作辅助函数并对辅助函数求导来证明不等的的方法对相当广泛的一类不等式是适用的。用此方法证明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步骤是：1.作辅助函数Ｆ（x）=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)归结为：Ｆ（x）≧0(a≦x≦b),这等价于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.对Ｆ（x）求导，确定F＇(x)在所考虑的区间上的符号，从而确定Ｆ(x)的增减性、极值、最值等性质（主要是单调性），如象例３F＇(x)的符号直接确定不了，这时一般需计算Ｆ＇＇（x）,直到符号能够确定为止．注意：作辅助函数Ｆ(x)不同，确定F＇(x)符号难易程度可能不同，所以作辅助函数要不拘一格，可对原题作适当变更．不同辅助函数构造一般来源对原不等式的不同同解变形．一般来说:辅助函数构造方法主要有下面两种:(1)由欲证形式构造“形似”函数。例如：)1ln(22xxx构造出)1ln(22xxxxg(2)对含两个变量的不等式，由欲证形式做恒等变形，变成初等函数四则运算的形式，再将其中一个变量改为x，移项使等式一端为0，则另一端即为所求作的辅助函数F（x）例如：babababa)2(两边可取对数，变为求证：2ln)(lnlnbababbaa令)(xf)(2ln)(lnlnaxxaxaxxaa一．构造形似函数型1．对证明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式构造形如Ｆ（x）=f(x)-g(x)的函数型并通过一阶求导达到证明目的的不等式。例1．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222xxxxxx),0(x（相减）2（2）xx2sin)2,0(x（相除两边同除以x得2sinxx）（3）xxxxtansin)2,0(x（4）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（换元：设xxt1）（5）已知函数()ln(1)fxxx，1x，证明：11ln(1)1xxx巩固练习：1.证明1x时，不等式xx1322.0x，证明：xex13.0x时，求证：)1ln(22xxx综合应用34.例：（理做）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1.例2.（08全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g(2ba)(b-a)ln2.解：、4（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)设函数21fxxaInx有两个极值点12xx、，且12xx（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；II）证明：21224Infx例：（1）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（2）已知：2nNn且，求证：11211ln13121nnn。解：5高考新动态(22)(2012山东理科22题本小题满分13分)已知函数ln()(exxkfxk为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求()fx的单调区间；(Ⅲ)设()()gxxfx，其中()fx为()fx的导函数.证明：对任意20,()1exgx.[来源:解：62012天津理科（21）（本小题满分14分）已知函数()()xfxxexR．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称．证明当x1时，f(x)g(x)；(Ⅲ)如果12,xx且12()(),fxfx证明122xx．解：（Ⅰ）（Ⅱ）证明：（Ⅲ)证明：（1）导数习题题型分类精选题型五7利用导数证明不等式（教师用）不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些简单的不等式。（一）．通过作辅助函数并对辅助函数求导来证明不等的的方法对相当广泛的一类不等式是适用的。用此方法证明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步骤是：1.作辅助函数Ｆ（x）=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)归结为：Ｆ（x）≧0(a≦x≦b),这等价于Ｆ(x)在［a,b］上的最小值大于等于0.2.对Ｆ（x）求导，确定F＇(x)在所考虑的区间上的符号，从而确定Ｆ(x)的增减性、极值、最值等性质（主要是单调性），如象例３F＇(x)的符号直接确定不了，这时一般需计算Ｆ＇＇（x）,直到符号能够确定为止．注意：作辅助函数Ｆ(x)不同，确定F＇(x)符号难易程度可能不同，所以作辅助函数要不拘一格，可对原题作适当变更（或换元）．不同辅助函数构造一般来源对原不等式的不同同解变形．一般来说:辅助函数构造方法主要有下面两种:(3)由欲证形式构造“形似”函数；)1ln(22xxx构造出)1ln(22xxxxg(4)对含两个变量的不等式，由欲证形式做恒等变形，变成初等函数四则运算的形式，再将其中一个变量改为x，移项使等式一端为0，则另一端即为所求作的辅助函数F（x）例如：babababa)2(两边可取对数，变为求证：2ln)(lnlnbababbaa令)(xf)(2ln)(lnlnaxxaxaxxaa一．构造形似函数型1．对证明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式构造形如Ｆ（x）=f(x)-g(x)的函数型并通过一阶求导达到证明目的的不等式。例1．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222xxxxxx),0(x（相减）（2）xx2sin)2,0(x（相除）8（3）xxxxtansin)2,0(x（4）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（换元：设xxt1）（5）已知函数()ln(1)fxxx，1x，证明：11ln(1)1xxx解：证：设（1）)2()1ln()(2xxxxf0)0(f01111)(2xxxxxf∴)(xfy为),0(上∴),0(x0)(xf恒成立∴2)1ln(2xxx设)1ln()1(2)(2xxxxxg0)0(g0)1(4211)1(42441)(22222xxxxxxxxg∴)(xg在),0(上∴),0(x0)1ln()1(22xxxx恒成立（2）xx2sin)2,0(x（相除）解（2）原式2sinxx令xxxf/sin)(∴2)tan(cos)(xxxxxf)2,0(x0cosx0tansinxx∴)2,0(x0)(xf∴xf在)2,0(上是减函数。2)2(fxf又2)2(f9∴xx2sin（3）xxxxtansin)2,0(x解：（3）令xxxxfsin2tan)(0)0(fxxxxxxxf222cos)sin)(coscos1(cos2sec)()2,0(x0)(xf∴xf在)2,0(上是增函数。0)0(fxf∴xxxxsintan（4）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（换元：设xxt1）解：（4）令tx11，由x0，∴t1，11tx（巧点：巧在换元，降低了做题难度）原不等式等价于1ln11ttt令f(t)=t-1-lnt，∵ttf11)(当),1(t时，有0)(tf，∴函数f(t)在),1(t递增∴f(t)f(1)即t-1lnt另令tttg11ln)(，则有01)(2tttg∴g(t)在),1(上递增，∴g(t)g(1)=0∴tt11ln综上得xxxx11ln11例5已知函数()ln(1)fxxx，1x，证明：11ln(1)1xxx证：函数()fx的定义域为(1,)．()fx＝11x－1＝－1xx当x∈（－1，0）时，()fx＞0，当x∈（0，＋∞）时，()fx＜0，因此，当1x时，()fx≤(0)f，即ln(1)xx≤0∴ln(1)xx．10令1()ln(1)11gxxx则211()1(1)gxxx＝2(1)xx．∴当x∈（－1，0）时，()gx＜0，当x∈（0，＋∞）时，()gx＞0．∴当1x时，()gx≥(0)g，即1ln(1)11xx≥0，∴1ln(1)11xx．综上可知，当1x时，有11ln(1)1xxx．巩固练习：1.证明1x时，不等式xx1322.0x，证明：xex13.0x时，求证：)1ln(22xxx2．对证明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式构造形如Ｆ（x）=f(x)-g(x)的函数，并通过一阶或二阶、三阶求导达到证明目的的不等式。例3使用了二阶求导的方法判出函数的导数的导函数单调性后再去证明不等式，也凸显判断函数零点的作用。例3.当)1,0(x时,证明:22)1(ln)1(xxx证:令)(xf22)1(ln)1(xxx,则0)0(f,而0)0(',2)1ln(2)1(ln)('2fxxxxf当)1,0(x时,因为在同一坐标系中画出xyln，xy的图像可知)1,0(x，xx)1ln(0])1[ln(122121)1ln(2)(''xxxxxxxf∴)('xf在)1,0(x上递减,即0)0(')('fxf,从而)(xf在(0,1)递减∴f(x)f(0)=0,从而原不等式得证.11Ex:证明:当0x时,22)1(ln)1(xxx解:注意x=1时,原不等式”=”成立,而11ln,1011ln,1xxxxxxxx原不等式原不等式设：F(x)=11lnxxx,则F(1)=0且)0(0)1(1)('22xxxxxF，∴F(x)=11lnxxx,在,0上是增函数。从而根据F(1)=0推出)()1(0)()10(0)(xFxxFxxF与12x同号0)()1(2xFx，∴22)1(ln)1(xxx方法二解：欲证当0x时,22)1(ln)1(xxx即证0x时,0)1(ln)1(22xxx设22)1(ln)1()(xxxxf，0x即证0x时，22)1(ln)1()(xxxxf