5.李雅普洛夫稳定性理论设计MRACS

SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab用李雅普洛夫稳定性理论设计用李雅普洛夫稳定性理论设计MRACSMRACS一一李雅普洛夫第二法分析与综合要点李雅普洛夫第二法分析与综合要点二二基于系统状态变量的基于系统状态变量的MRACSMRACS设计设计三三基于对象输入输出的基于对象输入输出的MRACSMRACS设计设计SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab一一李雅普洛夫第二法分析与综合要点李雅普洛夫第二法分析与综合要点„„李雅普洛夫第二法分析要点李雅普洛夫第二法分析要点„系统由状态方程描述，其原点为平衡点；„建立与该状态方程对应的李雅普洛夫函数（正定函数）；„如该函数对时间的导函数是负定的，则系统在原点处是渐近稳定的。„如该函数对时间的导函数是正定的，则系统在原点处是不稳定的。SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab„„李雅普洛夫第二法综合要点李雅普洛夫第二法综合要点„系统由状态方程描述，其原点为平衡点；„建立与该状态方程对应的李雅普洛夫函数（正定函数）；„求该函数对时间的导函数，推导保证其导函数为负定的条件，据此来综合控制规律或参数。SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab二二基于系统状态变量的基于系统状态变量的MRACSMRACS设计设计1.1.前馈＋反馈控制结构的前馈＋反馈控制结构的MRACSMRACS设计设计2.2.全状态反馈结构的全状态反馈结构的MRACSMRACS设计设计SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab1.1.前馈＋反馈控制结构的前馈＋反馈控制结构的MRACSMRACS设计设计„„问题提出问题提出„假定系统状态变量可获取；„被控对象参数一般未知，且不能直接调整；引入前馈＋反馈制结构间接调整参数。uBxAxBxAxppppmmmmr+=+=&&设KrFBppPpppBxAxFxKruu++=+=][&则有：由前馈与反馈信号组成设可见，引入前馈可调可见，引入前馈可调BB参数，引入反馈可调参数，引入反馈可调AA参数参数SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计„„系统结构系统结构KrFBrppPppmmmmBxAxBxAx++=+=][&&SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计„„设计目标设计目标综合前馈矩阵KK((∈∈RRmm××mm))与反馈矩阵FF((∈∈RRmm××nn))自适应规律，使可调系统的闭环特性接近于参考模型的特性。设系统广义状态误差为：e=xm－xp可得rKBBxFBAAeAe)()(pmpppmm−+−−+=&设FF和KK的理想值为KK**和FF*，当FF＝FF*，KK＝KK*且可逆时，则有*1**1***,,FKFAAKBBBKBAFAmPPmmPmPmPP−−==−===+BBB从而有SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计将上述结果带入广义误差状态方程，可得KKΨFFΦΨrKBΦxKBeAerKKKBxFFKBeAe********−−++=−+−+=−−−−＝，＝其中即)1(......)()(1111mpmmmpmm&&设P((∈∈RRnn××nn))、Γ1((∈∈RRmm××mm))、Γ2((∈∈RRmm××mm))为正定正定对称矩阵对称矩阵，选取李雅普洛夫函数)](tr[211211ΨΓΨΦΓΦPee−−++=TTTVSchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计„对上述李氏函数对时间求导，并将广义误差方程（1）式带入，可得)(tr)(tr)(21)(tr21)(21)](tr[211*121*11121211111*1*12121111ΨPBreΨΓΨΦPBexΦΓΦePAPAeΨΓΨΨΓΨΦΓΦΦΓΦΨKPBeΦKPBeePAPAeΨΓΨΨΓΨΦΓΦΦΓΦePePee−−−−−−−−−−−−−−+++++=+++++++=+++++=KKrxVmTTmTpTTmmTTTTTmTpmTTmmTTTTTTT&&&&&&&&&&&&&SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计„由于Am是稳定矩阵，故上述导函数第一项是负定的。如后两项为零，则可保证导函数为负定的。00)(tr1*111*11＝＋则有＝由−−−−+KKmTpTmTpTPBexΓΦΦPBexΦΓΦ&&TpTmmTpTKKPexBΓΦΓPBexΦ）（＝－或＝－即1*111*−−&&TTmKPerBΓΨ）（－＝同理可得1*2−&SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计由于可调系统的参数为常值或缓慢变化，可设0,0**≈≈KF&&则有TTmTpTmPerKBΓΨΨKKPexKBΓΦΦFF)()(1*2*1*1*−−=−=−==−=−=&&&&&&&&从而，可得自适应调节律自适应调节律为)0()()()0()()(01*201*1KPerKBΓKFPexKBΓF+=+=∫∫−−ττdtdttTTmtTpTmSchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计【【结论结论】】„所设计的自适应规律能保证系统是全局渐近稳定的；„为保证系统的渐近稳定，与自适应律有关的参数运算应具备良好的收敛性，这就要求xxpp和rr线性独线性独立立；„要使xxpp和rr线性独立线性独立，则rr应为一定频率的方波信号或多个不同频率的正弦信号组成的分段连续信号。SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计举例【【例例11】】设单输入单输出控制对象与参考模型的状态方程分别为rTbxTxuTbxTxmmmppp+−=+−=1,1&&【【解解】】设广义误差为ε＝xm－xp，由于只有b参数需要调节，只需引入前馈增益控制前馈增益控制，可得rkTbTbTpm)(1−+−=εε&当k=k*时，有bm=bpk*,k*=bm/bp,k*－1＝bp/bm,bp＝bmk*－1于是rkkTkbTm)(1*1*−+−=−εε&SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计举例„选取李雅普洛夫函数为kkΓtrpV−+=−*1,)]([21＝式中，ψψψεε对时间求导数，可得*111*11()()21()()2mmTmmTmmVpAAppBkrtrΓpAAptrΓrpBkεεεψψψεεψψεψ−−−−=+++=+++&&&式中Am=－1/T，Bm=bm/T，为确保系统渐近稳定，选取*1,0()mTmTmpAApQQΓBkprψε−+=−=−&SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计举例系统自适应律为*100*1()(0)(0)()ttTmTmkΓBkprdkrdkΓBkpετμετμ−−=+=+∫∫式中＝SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计举例【【例例22】】设被控对象与参考模型分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=+=+=40,761020,51010ppmmppppmmmmurBABABxAxBxAx其中&&【【解解】】引入前馈增益矩阵KK和反馈矩阵FF，则可调系统为KrFBppPppBxAx++=][&SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab前馈＋反馈控制结构的MRACS设计举例„可以验证，P满足PAm+AmTP=－Q，Q0。而1,111321==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΓΓP选取[][])0()44()()0(])44()44[()0(111340)(021022112121210KdreetKFdxeexeeFdxxeetFttppppt++=+++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∫∫∫τττ同理由前面推导结果可得自适应规律为⎥⎦⎤⎢⎣⎡==−401*PmBKBSchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab2.2.全状态反馈结构的全状态反馈结构的MRACSMRACS设计设计„„系统结构系统结构rrppPpppppppmmmmGBxGFBAxFxrGuuBxAxBxAx++=+=+=+=][)(&&&故其中设SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab全状态反馈结构的MRACS设计定义G*、F*是G、F的理想值，当完全匹配时，有mPmPPBGBAFGBA==+***,rGBBxGFBAAeAe)()(pmpppmm−+−−+=&系统广义状态误差方程为定义参数偏差阵1*1*−−−=−=GGψFFϕ则广义误差状态方程)(rxGBxBeAe+++=pmpmmFψϕ&SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab全状态反馈结构的MRACS设计„将广义误差方程规范化[],,()mpmpZϕψ=+⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦eAeBΦxΦBBZGFxr&其中＝„选取李氏函数11[tr()]02TTV−=+ePeΦΓΦ„两边对时间求导，考虑到PAm+AmTP=－Q，可得11tr()tr()2TTTV−=−++eQeZePBΦΦΓΦ&&SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab全状态反馈结构的MRACS设计为确保上式负定，则后两项之和应为0，则有1200TTP=−⎡⎤⎢⎥⎣⎦ΦΓBeZΓΓΓ&其中＝对参数偏差阵求导，进一步可得FF和GG的自适应律112()()()TTmpTTTmpttr−==−+FΓBPexGΓBPeFxG&&SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab全状态反馈结构的MRACS设计【【结论结论】】„该MARCS是全局渐近稳定的；„为了使该MARCS各偏差具有良好的渐近收敛性，要求输入信号为方波信号或分段连续信号；„该自适应律中要用到GG和FF，因而不容易直接求取。SchoolofAutomationEngineeringIntelligentVisionTechnologyLab三三基于对象输入输出的基于对象输入输出的MRACSMRACS设计设计„„1.1.可调增益的可调增益的MRACSMRACS设计设计„„2.2.参数可调参数可调SISO