高二数学---选修2-3第三章-----统计案例

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）高二数学选修2-3第三章统计案例2定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、变量相关指数R、残差分析）分类变量——研究两个变量的相关关系：定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。变量分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、宗教信仰、国籍等等。两种变量：独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计98749199651、列联表2、三维柱形图3、二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小。从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通过图形直观判断两个分类变量是否相关：不吸烟吸烟00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例4、等高条形图等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+dadbc即aa+ba+c≈×nnna+bP(A),na+cP(B),n.aP(AB)n其中为样本容量，即n=a+b+c+d在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有(a+b+c+d)a(a+b)(a+c),为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量22(),()()()()其中为样本容量。nadbcKabcdacbdnabcd（1）若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？242209956.63278172148987491k9965(777549）（2）独立性检验在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.8280)k2P(K0k0k0)k2P(K在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。2(6.635)0.01.PK（2）也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01。思考206.635?KH如果，就断定不成立，这种判断出错的可能性有多大答：判断出错的概率为0.01。20099657775494220995663278172148987491().kHH现在观测值太大了，在成立的情况下能够出现这样的观测值的概率不超过0.01，因此我们有99%的把握认为不成立，即有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。判断是否成立的规则0H如果，就判断不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断成立，即认为吸烟与患肺癌有关系。6.635k0H0H独立性检验的定义上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。在该规则下，把结论“成立”错判成“不成立”的概率不会差过0H0H2(6.635)0.01,PK即有99%的把握认为不成立。0H独立性检验的基本思想（类似反证法）(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.0:H(2)在此假设下我们所构造的随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上说明不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对的充分证据。0H0H(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设不合理的程度为1%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99%.怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？这仅需要确定一个正数，当时就认为K2的观测值k大。此时相应于的判断规则为：0k0kk0k如果，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。0kk0k----临界值按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误的判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为P().20Kk在实际应用中，我们把解释为有的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把解释为不能以的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。0kk2(1())100%PKk0kk2(1())100%PKk思考：利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中看出两个分类变量是否相关呢？表1-112x2联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为2x2列联表）为：y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d若要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”，可以按如下步骤判断H1成立的可能性：aabccd2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。1、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。（1）在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上两个柱形高度的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大。（2）在二维条形图中,可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例，也可以估计满足条件X=x2的个体中具有Y=y1的个体所占的比例。两个比例相差越大，H1成立的可能性就越大。aabccd在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：0.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6367.87910.8280)k2P(K0k0k0)k2P(K具体作法是：(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值；(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量的观测值；(3)如果，就以的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。0k2K0kk20(1())100%PKk1)如果P(m10.828)=0.001表示有99.9%的把握认为”X与Y”有关系;2)如果P(x27.879)=0.005表示有99.5%的把握认为”X与Y”有关系;3)如果P(x26.635)=0.01表示有99%的把握认为”X与Y”有关系;4)如果P(x25.024)=0.025表示有97.5%的把握认为”X与Y”有关系;5)如果P(x23.841)=0.05表示有95%的把握认为”X与Y”有关系;6)如果P(x22.706)=0.10表示有90%的把握认为”X与Y”有关系;7)如果P(x2≤2.706),就认为没有充分的证据显示”X与Y”有关系;y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d2×2列联表适用观测数据a、b、c、d不小于5dbcadcbabcadn22)(2mP一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和B（如吸烟与不吸烟）；Ⅱ也有两类取值，即类1和2（如患病与不患病）。于是得到下列联表所示的抽样数据：类1类2总计类Aaba+b类Bcdc+d总计a+cb+da+b+c+d用统计量研究这类问题的方法称为独立性检验。2要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：（1）提出假设H0：Ⅰ和Ⅱ没有关系；（3）查对临界值，作出判断。（2）根据2×2列表与公式计算的值；2由于抽样的随机性，由样本得到的推断有可能正确，也有可能错误。利用进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本量n越大，估计越准确。2反证法原理与假设检验原理反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。