第四章题目

第四章题目1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少奥购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益％A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75％的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5％，投资应否改变？如证券C的税前收益减少为4.8％，投资应否改变？解：（1）设投资证券A，B，C，D，E的金额分别为54321,,,,xxxxx（百万元），按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型0,,,'03-2-1-104'52314159'036446'64.1522104..045.0022.0025.0027.00.043,xxxxxxxxxxxxxxx543215432154321543215432154321543215432143254321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsMax即即用LINDO求解并要求灵敏性分析，得到：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)0.2983637VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX12.1818180.000000X20.0000000.030182X37.3636360.000000X40.0000000.000636X50.4545450.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES1)3.8181820.0000002)0.0000000.0298363)0.0000000.0006184)0.0000000.002364RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX10.0430000.0035000.013000X20.0270000.027818INFINITYX30.0250000.0173330.000560X40.0220000.000636INFINITYX50.0450000.0520000.014000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE24.0000003.818182INFINITY310.000000INFINITY4.88372140.000000231.42857420.00000050.00000010.00000012.000000即证券A，C，E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。（2）由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：A，C，E分别投资2.40百万元，7.10百万元，0.5百万元，最大税后收益为0.3007百万元。（3）由（1）的结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增0.35%，故若证券A的税前收益增加4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减0.112%（注意按50%的税率纳税），故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。2、一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性模型并求解。解：将大学生数量为34，29，42，21，56，18，71的区分别标号为1，2，3，4，5，6，7区，划出区与区之间的如下相邻关系图：1235746记ir为第i区大学生人数，用0-1变量1ijx表示（ji,）区的大学生由一个销售代理点供应图书（ji且ji,相邻），否则0ijx，建立该问题的整数线性规划模型1,0i12s.t.)xxxx(rijjjijijji,ij,ixrijjjiMax相邻即Max6312x+7613x+7123x+5024x+8525x+6334x+7745x+3946x+9247x+7456x+8967x1022111112..xxxxij674767564656452547464534243423132524231213126756474645342524231312或xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts用LINGDO求解得到：最优解为25x=47x=1（其他为0），最优值为177人。3、某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员人数如下：时间段（时）9～1010～1111～1212～11～22～33～44～5服务员人数43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00个工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4个小时，报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能呢个雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？解：设储蓄所每天雇佣的全时服务员以12：00~1：00为午餐时间的有1x名，以1：00~2：00为午餐时间的有2x名；半时服务员中从9：00，10：00，11：00，12：00，1：00开始工作的分别为54321,,,,yyyyy名。列出模型且为整数0,,,,,,388656434..404040404010010054321215432152154215432154321432123212121211215432121yyyyyxxyyyyyyxxyyxxyyyxxyyyyxyyyyxyyyxxyyxxyxxyyyyyxxtsMin求解得到最优解1,0,2,0,0,4,35432121yyyyyxx，最小费用为820元。如果不能雇佣半时服务员，则最优解为,0,0,0,6,532121yyyxx,04y，05y，最小费用为1100元，即每天至少增加1100-820=280元。如果雇佣半时服务员的数量没有限制，则最优解为,4,6,5121yxx,02y,03y,24y85y，最小费用为560元，即每天可以减少820-560=260元。4、一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15％的保姆自动离职。（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。解：（1）设四个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为4321,,,xxxx人，4各季度开始时保姆总数量分别为4321,,,ssss人。以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为0,,,,,,,85.085.085.01205900065555006557500655600065..4321432143432321211443322114321xsssssssssssssxxxxsxsxsxxxxxssstsMin用LINDO求解得到：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)478.5107VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTS1120.0000000.000000S2116.5000000.000000S399.0250020.000000S4142.9857330.000000X10.0000000.873223X20.0000000.000000X342.7229160.929167X458.8144800.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)1800.0000000.0000003)0.000000-0.0298304)936.6250000.0000005)0.000000-0.0166676)0.0000000.8732237)0.0000000.1491498)0.000000-1.9291679)0.0000000.083333对上述结果取整，4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0，15，0，59人。上面的模型中没有要求4321,,,xxxx4321,,,ssss为整数，是因为保姆数量较大，可以近似看作实数处理。此外，由于非整数因子85.0的影响，如果要求4321,,,xxxx4321,,,ssss为整数，则可能使得新招聘的保姆数量远远超出实际需要的数量，从而难以找到合适的整数解。由以上结果中的约束的松弛（或剩余）的数据知道，春季和秋季的增加不影响招聘计划，可以分别增加1800和936人日。（2）设四个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为4321,,,xxxx人，四个季度结束时解雇的保姆数量分别为4321,,,yyyy人，4各季度开始时保姆总数量分别为4321,,,ssss人。以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为0,,,432,,,,85.085.085.01205900065555006557500655600065..43211432134342323121211443322114321,,,,xsssssssssssssyyyyxxxyxsyxsyxsxxxxxssstsMin用LINDO求解并对结果取整得到，第二季度开始时公司新招聘15人，第二季度结束时公司解雇15人，第四季度开始时公司新招聘72人。目标函数值为465.1218，比不允许解雇时的数量略有减少。6、某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A、B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（％），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）。产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（％），售价分别为9，15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A、B的市场需求量分别为100吨、200吨。问应如何安排生产？解：设1y，1z分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，2y，2z分别是产品B中是来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为1x，2x，4x。优化