计算机中数值的三种表示方法详解：原码-反码--补码

计算机中数值的三种表示方法详解原码，反码，补码最近在学习软件评测师的知识，其中涉及到计算机的原码,反码和补码等知识.通过网上查阅资料，进行了深入学习，分享给大家。本文主要从以下几点进行介绍：如何计算原码，反码，补码？为何要使用反码和补码？希望本文对大家学习计算机基础有所帮助一.机器数和真值在学习原码,反码和补码之前,需要先了解机器数和真值的概念.1、机器数一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号,正数为0,负数为1.比如，十进制中的数+3，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是-3，就是10000011。那么，这里的00000011和10000011就是机器数。2、真值因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数10000011，其最高位1代表负，其真正数值是-3而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例：00000001的真值=+0000001=+1，10000001的真值=–0000001=–1二.原码,反码,补码的基础概念和计算方法.计算机中的符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同。1.原码原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值.比如如果是8位二进制:[+1]原=00000001[-1]原=10000001第一位是符号位.因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:[11111111,01111111]即[-127,127]原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.2.反码反码的表示方法是:正数的反码是其本身负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变，其余各个位取反.[+1]=[00000001]原=[00000001]反[-1]=[10000001]原=[11111110]反可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值.通常要将其转换成原码再计算.3.补码补码的表示方法是:正数的补码就是其本身负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1.(即在反码的基础上+1)[+1]=[00000001]原=[00000001]反=[00000001]补[-1]=[10000001]原=[11111110]反=[11111111]补对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的.通常也需要转换成原码在计算其数值.简单总结以下，反码和补码的表示方式以及计算方法.对于正数，三种编码方式的结果都相同:正整数的原码、反码、补码完全一样，即符号位固定为0，数值位相同。[+1]=[00000001]原=[00000001]反=[00000001]补对于负数，三种编码方式则完全不同：负整数的符号位固定为1，由原码变为补码时，规则如下：1、原码符号位1不变，整数的每一位二进制数位求反，得到反码2、反码符号位1不变，反码数值位最低位加1，得到补码[-1]=[10000001]原=[11111110]反=[11111111]补可见原码,反码和补码是完全不同的.三.为何要使用原码,反码和补码既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式,为何还会有反码和补码呢?在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。下面以一些例子进行详细介绍。人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减.(真值的概念在本文最开头).但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单.计算机辨别符号位显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!于是人们想出了将符号位也参与运算的方法.我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即:1-1=1+(-1)=0,所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了.于是人们开始探索将符号位参与运算,并且只保留加法的方法.首先来看原码:计算十进制的表达式:1-1=01-1=1+(-1)=[00000001]原+[10000001]原=[10000010]原=-2如果用原码表示,让符号位也参与计算,显然对于减法来说,结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.为了解决原码做减法的问题,出现了反码:计算十进制的表达式:1-1=01-1=1+(-1)=[00000001]原+[10000001]原=[00000001]反+[11111110]反=[11111111]反=[10000000]原=-0发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的.而唯一的问题其实就出现在0这个特殊的数值上.虽然人们理解上+0和-0是一样的,但是0带符号是没有任何意义的.而且会有[00000000]原和[10000000]原两个编码表示0.于是补码的出现,解决了0的符号以及两个编码的问题:1-1=1+(-1)=[00000001]原+[10000001]原=[00000001]补+[11111111]补=[00000000]补=[00000000]原这样0用[00000000]表示,而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[10000000]表示-128:(-1)+(-127)=[10000001]原+[11111111]原=[11111111]补+[10000001]补=[10000000]补-1-127的结果应该是-128,在用补码运算的结果中,[10000000]补就是-128.但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128,所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[10000000]补算出来的原码是[00000000]原,这是不正确的)使用补码,不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数.这就是为什么8位二进制,使用原码或反码表示的范围为[-127,+127],而使用补码表示的范围为[-128,127].因为机器使用补码,所以对于编程中常用到的32位int类型,可以表示范围是:[-231,231-1]因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.四原码,反码,补码原理：模的概念计算机巧妙地把符号位参与运算,并且将减法变成了加法,背后蕴含了怎样的数学原理呢?模的概念可以帮助理解补数和补码。“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。例如：时钟的计量范围是0～11，模=12。表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。假设当前时针指向6点，而准确时间是4点，我希望将时间设置成4点,需要怎么做呢?调整时间可有以下两种拨法：一种是倒拨2小时，即：6-4=2；另一种是顺拨10小时：6+10=12+4=41.往回拨2个小时:6-2=42.往前拨10个小时:(6+10)mod12=43.往前拨10+12=22个小时:(6+22)mod12=42,3方法中的mod是指取模操作,16mod12=4即用16除以12后的余数是4.所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!现在的焦点就落在了如何用一个正数,来替代一个负数.上面的例子我们能感觉出来一些端倪,发现一些规律.但是数学是严谨的.不能靠感觉.首先介绍一个数学中相关的概念:同余——两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余记作a≡b(modm)读作a与b关于模m同余。举例说明:4mod12=416mod12=428mod12=4所以4,16,28关于模12同余.负数取模正数进行mod运算是很简单的.但是负数呢?下面是关于mod运算的数学定义:上面是截图,取下界符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码).下面是使用L和J替换上图的取下界符号:xmody=x-yLx/yJ上面公式的意思是:xmody等于x减去y乘上x与y的商的下界.以-3mod2举例:-3mod2=-3-2xL-3/2J=-3-2xL-1.5J=-3-2x(-2)=-3+4=1所以:(-2)mod12=12-2=10(-4)mod12=12-4=8(-5)mod12=12-5=7再回到时钟的问题上:回拨2小时=前拨10小时回拨4小时=前拨8小时回拨5小时=前拨7小时注意,这里发现的规律!结合上面学到的同余的概念.实际上:(-2)mod12=1010mod12=10-2与10是同余的.(-4)mod12=88mod12=8-4与8是同余的.距离成功越来越近了.要实现用正数替代负数,只需要运用同余数的两个定理:反身性:a≡a(modm)这个定理是很显而易见的.线性运算定理:如果a≡b(modm)，c≡d(modm)那么:(1)a±c≡b±d(modm)(2)a*c≡b*d(modm)所以:7≡7(mod12)(-2)≡10(mod12)7-2≡7+10(mod12)现在我们为一个负数,找到了它的正数同余数.但是并不是7-2=7+10,而是7-2≡7+10(mod12),即计算结果的余数相等.接下来回到二进制的问题上,看一下:2-1=1的问题.2-1=2+(-1)=[00000010]原+[10000001]原=[00000010]反+[11111110]反先到这一步,-1的反码表示是11111110.如果这里将[11111110]认为是原码,则[11111110]原=-126,这里将符号位除去,即认为是126.发现有如下规律:(-1)mod127=126126mod127=126即:(-1)≡126(mod127)2-1≡2+126(mod127)2-1与2+126的余数结果是相同的!而这个余数,正式我们的期望的计算结果:2-1=1所以说一个数的反码,实际上是这个数对于一个膜的同余数.而这个膜并不是我们的二进制,而是所能表示的最大值!这就和钟表一样,转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!而2+126很显然相当于钟表转过了一轮,而因为符号位是参与计算的,正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.既然反码可以将减法变成加法,那么现在计算机使用的补码呢?为什么在反码的基础上加1,还能得到正确的结果?2-1=2+(-1)=[00000010]原+[10000001]原=[00000010]补+[11111111]补如果把[11111111]当成原码,去除符号位,则:[01111111]原=127其实,在反码的基础上+1,只是相当于增加了膜的值:(-1)mod128=127127mod128=1272-1≡2+127(mod128)此时,表盘相当于每128个刻度转一轮.所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128,128].但是由于0的特殊情况,没有办法表示128,所以补码的取值范围是[-128,127]