平面向量及其应用

第4讲平面向量及其应用1．考题展望高考对平面向量的考查主要体现在：第一，考查平面向量的概念及平面向量的和、差、数乘和数量积的运算，主要以选择题、填空题的形式考查，向量与平面几何相结合是命题的一个亮点；第二，考查平面向量与其他知识的综合应用，主要以解答题的形式考查．平面向量具有代数与几何形式的“双重性”，是中学数学知识网络的重要交汇点，平面向量与三角函数、解析几何的综合是近几年高考的热点，要予以足够的重视．2．高考真题考题1(2013浙江)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB→·PC→≥P0B→·P0C→，则()A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC【解析】选D.对于A、B、C均可通过特值排除，故选D.对于D的证明如下：设AB＝4，作CH⊥AB于H，由题意有P0B＝1，设HP0＝m，PB＝x，则PH＝x－m－1.∴PB→·PC→＝PH→·PB→＝(x－m－1)·x.P0B→·P0C→＝－|P0B|·|P0H|＝－m.由题意有(x－m－1)x≥－m对任意0≤x≤4成立．即x2－(m＋1)x＋m≥0对x∈[0，4]恒成立，∵对称轴x＝m＋12∈12，52，∴Δ＝(m＋1)2－4m≤0，即(m－1)2≤0，∴m＝1.故AH＝BH，CA＝CB.【命题立意】本题主要考查平面向量与不等式最值问题．考题2(2013安徽)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，则点集{P|OP→＝λOA→＋μOB→，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A．22B．23C．42D．43【解析】选D.由两定点A，B满足|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，不妨设A(3，－1)，B(3，1)再设P(x，y)．由OP→＝λOA→＋μOB→得(x，y)＝(3(λ＋μ)，μ－λ)，∴λ＋μ＝33x，μ－λ＝y，⇒λ＝36x－12y，μ＝36x＋12y，由λ＋μ≤1，当36x－12y≥0，36x＋12y≥0，x≤3时，由可行域可得S0＝3，由图形对称性知S＝4S0＝43.【命题立意】本小题主要考查平面向量运算，线性规划以及数形结合思想．考题3(2013重庆)在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|＜12，则|OA→|的取值范围是()A.0，52B.52，72C.52，2D.72，2【解析】选D.根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1→|＝a，|AB2→|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，由|OB1→|＝|OB2→|＝1，得（x－a）2＋y2＝1，x2＋（y－b）2＝1，则（x－a）2＝1－y2，（y－b）2＝1－x2，又由|OP→|＜12，得(x－a)2＋(y－b)2＜14，则1－x2＋1－y2＜14，即x2＋y2＞74，①又(x－a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，则y2≤1；同理由x2＋(y－b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2，②由①②知74＜x2＋y2≤2，所以72＜x2＋y2≤2，而|OA→|＝x2＋y2，所以72＜|OA→|≤2.【命题立意】本小题主要考查平面向量垂直、加法的几何意义、不等式性质及基本不等式基础知识，同时考查转化思想、数形结合思想，以及综合分析问题的能力．1．平面向量(1)向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；(2)向量减法的法则：三角形法则；(3)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝|λ|·|a|；(4)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b＝λa，即b∥a⇔b＝λa(a≠0)；(5)平面向量的基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(6)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则a和b的数量积a·b＝|a|·|b|·cosθ.(7)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：①a±b＝(x1±x2，y1±y2)；②λa＝(λx1，λy1)；③a·b＝x1x2＋y1y2；④|a|＝x21＋y21；⑤a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0；⑥a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.2．平面向量的易错点(1)向量的数量积运算不满足结合律：a·(b·c)＝(a·b)·c不正确．(2)非零向量的平行性才具有传递性：a∥b，b∥c⇒a∥c不正确．(3)向量不满足消去律：a·b＝a·c⇒b＝c不正确．(4)平面向量的基本定理的前提是e1，e2不共线．(5)两个向量的夹角不一定为三角形的内角．例如△ABC中，AB→，BC→的夹角不是三角形的内角B.(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.1．平面向量的概念与线性运算例1(1)如图，A、B分别是射线OM、ON上的两点，给出下列向量．①OA→＋2OB→②12OA→＋13OB→③34OA→＋13OB→④34OA→－15OB→.这四个向量中以O为起点，终点在阴影区域内的是()A．①②B．①③C．②③D．②④B【解析】由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得终点在阴影部分的是①③，故选B.(2)已知点P是△ABC所在平面内的一点，且3PA→＋5PB→＋2PC→＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为()A.34SB.23SC.12SD.25SC【解析】由于3PA→＋5PB→＋2PC→＝0则3(PA→＋PB→)＝－2(PB→＋PC→)即3·PA→＋PB→2＝－2·PB→＋PC→2.如图，设AB、BC的中点分别为M、N.则PM→＝12(PA→＋PB→)，PN→＝12(PB→＋PC→)，即3PM→＝－2PN→，则点P在中位线MN上所以△PAC的面积是△ABC的面积的一半，故选C.【点评】由题设情境，通过数形结合，恰当地运用平行四边形法则、三角形法则和实数与向量乘积的几何意义分析、推导，问题便可解答．2．平面向量的基本定理和坐标运算例2(1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(1，2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝()A．(2，1)B．(1，0)C.32，12D．(0，－1)A【解析】设c＝(x，y)，由题设c＋b＝(x＋1，y＋2)c－a＝(x－1，y＋1)由(c＋b)⊥a得(x＋1)×1＋(y＋2)×(－1)＝0即x－y－1＝0①又(c－a)∥b，得(x－1)×2－(y＋1)×1＝0即2x－y－3＝0②解①②得x＝2，y＝1，故选A.(2)如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为____．311【解析】由三点B、P、N共线，得AP→＝nAB→＋(1－n)AN→.又AN→＝13NC→,因此AN→＝14AC→，从而AP→＝nAB→＋14(1－n)AC→＝mAB→＋211AC→.所以14(1－n)＝211，故m＝n＝311.(3)如图，在等腰三角形ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→(m＞0，n＞0)，则m·n的最大值为____．1【解析】以A为原点，AC、AB所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，设AB＝2，则B(0，2)，C(2，0)，O(1，1)∵AB→＝mAM→，AC→＝nAN→.∴M0，2m，N2n，0.从而直线MN的方程为nx2＋my2＝1.又MN过点(1，1)．∴m2＋n2＝1,即m＋n＝2.∴mn≤（m＋n）24＝1.当m＝n＝1时取等号,故mn的最大值为1.【点评】在处理三点共线有关问题中常用结论：若A、B、C三点共线，OA→＝λOB→＋μOC→(其中O为平面内一点)，则λ＋μ＝1.反之也成立．3．平面向量的数量积例3(1)已知非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝233|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为____．π3【解析】由|a＋b|＝|a－b|及平行四边形法则可得a·b＝0.由|a－b|＝233|a|两边平方得b2＝13a2.所以cos〈a＋b，a－b〉＝（a＋b）·（a－b）|a＋b|·|a－b|＝a2－b243a2＝12，又〈a＋b，a－b〉∈[0，π]故〈a＋b，a－b〉＝π3.(2)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D、E为BC边上的点，且AD→·BC→＝0，CE→＝2EB→，则AD→·AE→＝____．1【解析】∵AD→·BC→＝0∴AD→⊥BC→,即AD⊥BC，又AB＝AC,∴AD→＝12(AB→＋AC→)，CB→＝AB→－AC→，又CE→＝2EB→，∴AE→＝AC→＋23CB→＝23AB→＋13AC→则AD→·AE→＝12(AB→＋AC→)·13(2AB→＋AC→)＝16(2AB→2＋3AB→·AC→＋AC→2)＝16(2×22＋3×2×2×cos120°＋22)＝1.【点评】平面向量的数量积既有几何运算法则，又有坐标运算，因此涉及与平面几何有关的问题，应充分将几何运算法则与几何图形和实数与平面向量乘法的几何意义恰当结合进行运算求解．4．平面向量综合的问题例4(1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，△ABC的三个顶点均在抛物线上，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝____．6【解析】由题设F(1，0)是△ABC的重心，则xA＋xB＋xC＝3.故|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.(2)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是____．2【解析】设∠AOC＝αOC→·OA→＝xOA→·OA→＋yOB→·OA→，OC→·OB→＝xOA→·OB→＋yOB→·OB→，即cosα＝x－12y，cos（120°－α）＝－12x＋y，∴x＋y＝2[cosα＋cos(120°－α)]＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2.例5在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，AB→·AC→＝8，∠BAC＝θ，a＝4.(1)求bc的最大值和θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝23sin2π4＋θ＋2cos2θ－3的最大值．【解析】(1)∵AB→·AC→＝8，∠BAC＝θ∴bccosθ＝8.又a＝4，由余弦定理得42＝b2＋c2－2bccosθ.得b2＋c2＝32.故bc≤b2＋c22＝16.即当b＝c时，bc取最大值16.而bc＝8cosθ，∴8cosθ≤16，∴cosθ≥12.又0＜θ＜π.故0＜θ≤π3.(2)f(θ)＝23sin2π4＋θ＋2cos2θ－3＝31－cosπ2＋2θ＋1＋cos2θ－3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin2θ＋π6＋1，∵0＜θ≤π3，∴π6＜2θ＋π6≤5π6∴12≤sin2θ＋π6≤1故当θ＝π6时，f(θ)max＝3.当θ＝π3时，f(θ)min＝2.【点评】涉及由三角形的边构建的向量数量积问题，一定要数形结合分析向量的夹角与三角形内角的关系，若两向量始点相同或终点相同，则向量的夹角与三角形的相关内角相等，若两