15-巴拿赫不动点定理

泛函分析导论——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授[e-mail]-27-1.5Banach不动点定理及应用巴拿赫不动点定理(BanachFixedPointTheorem)，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．1.5.1Banach不动点定理及推论定义1.5.1不动点(Fixedpoints)设X是一个非空集合，:AXX→为映射，如果存在xX∗∈满足()Axx∗∗=，则称x∗为映射A的不动点．例如(1)从R到R上的映射2:fxx→有两个不动点，即0x=和1x=．(2)从2R到2R上的映射:(,)(,)fxyyx→有无穷多个不动点，即直线yx=上的所有点均是不动点．设f是空间X到自身的映射，方程()0fx=的求解可转化为求映射:()Txfxxα→+的不动点，其中常数0α≠(显然当Txx∗∗=时，即()fxxxα∗∗∗+=，可得()0fx∗=)．关于不动点的定理，最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理．定义1.5.2压缩映射(Contractionmapping)设X是一个度量空间，:AXX→为映射，如果存在常数(0,1)α∈，对于任何,xyX∈，有(,)(,)dAxAydxyα≤则称A为X上的压缩映射．称常数α为压缩系数．显然压缩映射是连续映射．下面的压缩映射原理是由Banach于1922年给出的，也称为Banach不动点定理．定理1.5.1Banach不动点定理(压缩映射原理Contractionmappingprinciple)设X是完备的度量空间，:AXX→是压缩映射，则A在X中具有唯一的不动点，即存在唯一的x∗，使得()xAx∗∗=．证明任取0xX∈，构造点列{}nx：10()xAx=，21()xAx=，32()xAx=，43()xAx=，…，1()nnxAx−=，…．下面证明(1)证{}nx为基本列；(2)证nxx∗→，()xAx∗∗=；(3)证x∗的唯一性．(1)证{}nx为基本列．因为A是压缩映射，所以不妨设(,)(,)dAxAydxyα≤，其中(0,1)α∈，记100(,)dxxc=，于是有第一章度量空间——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授[e-mail]-28-2110100(,)(,)(,)dxxdAxAxdxxcαα=≤≤；23221210(,)(,)(,)dxxdAxAxdxxcαα=≤≤；34332320(,)(,)(,)dxxdAxAxdxxcαα=≤≤；…………1112120(,)(,)(,)nnnnnnndxxdAxAxdxxcαα−−−−−−=≤≤．因此对于正整数k有1121(,)(,)(,)(,)nnknnnnnknkdxxdxxdxxdxx+++++−+≤+++L110()nnnkcααα++−≤+++L0(1)1nkcααα−=−01ncαα≤−0→(n→∞)故{}nx为基本列．(2)证nxx∗→，()xAx∗∗=．因为X是完备的度量空间，所以基本列{}nx收敛，不妨设nxx∗→(n→∞)；又知压缩映射是连续映射以及1()nnxAx−=，于是limnnxx∗→∞=1lim()nnAx−→∞=1(lim)nnAx−→∞=Ax∗=．(3)证x∗的唯一性．若存在1xX∗∈且11()xAx∗∗=，那么111(,)(,)(,)dxxdAxAxdxxα∗∗∗∗∗∗=≤于是1(1)(,)0dxxα∗∗−≤，从而1(,)0dxx∗∗≤，即1xx∗∗=．□注1Banach不动点定理给出了在完备度量空间X中求解不动点的迭代法，即1xX∀∈，由1nnxAx+=(1,2,n=L)获得不动点nxx∗→．第n次迭代后的近似解nx与不动点x∗的误差估计：根据上述定理证明的第二部分知0(,)1nnnkdxxcαα+≤−，于是令k→∞有01000(,)(,)(,)111nnnndxxcdxxdAxxαααααα∗≤==−−−．即00(,)(,)1nndxxdAxxαα∗≤−．注2Banach不动点定理中的两个条件压缩性和空间的完备性都是十分重要的．例如当(,)(,)dAxAydxy时，未必存在不动点．设:A→RR，()arctan2Axxxπ=+−，那么,xy∀∈R，有(,)dAxAyAxAy=−(arctan)(arctan)22xxyyππ=+−−+−(arctanarctan)xyxy=−−−泛函分析导论——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授[e-mail]-29-2()1xyxyξ−=−−+(由Lagrange中值定理知存在(,)xyξ∈或(,)yxξ∈)22()1xyξξ=−+(,)xydxy−=．但是，当Axx=时，方程arctan2xπ=无解，因此映射A在R中没有不动点．Lagrange中值定理：如果函数()fx在闭区间[,]ab连续，在开区间(,)ab内可导，那么在(,)ab内至少存在一点ξ(abξ)，使得()()()()'fbfafbaξ−=−．推论1.5.1设X是完备的度量空间，映射:AXX→是闭球0(,)Bxr上的压缩映射，并且00(,)(1)dAxxrα≤−，其中(0,1)α∈是压缩系数，那么A在0(,)Bxr中具有唯一的不动点．证明显然0(,)Bxr是完备度量空间X的闭子集，所以0(,)Bxr是完备的子空间．0(,)xBxr∀∈，有0(,)dxxr≤，于是0000(,)(,)(,)dAxxdAxAxdAxx≤+0(,)(1)dxxrαα≤+−(1)rrαα≤+−r≤即0(,)AxBxr∈．可见A是完备度量空间0(,)Bxr到0(,)Bxr上的压缩映射，因此A在0(,)Bxr中具有唯一的不动点．□设映射:AXX→，记nnAAAA=64748L，那么映射:nAXX→．推论1.5.2设X是完备的度量空间，映射:AXX→，如果存在常数(0,1)α∈和正整数n，使得,xyX∀∈有(,)(,)nndAxAydxyα≤那么A在X中存在唯一的不动点．证明显然nA是压缩映射，所以nA在X中存在唯一的不动点x∗，即nxAx∗∗=．于是1()()nnnAAxAxAAxAx∗+∗∗∗===可得Ax∗也是nA的不动点，由不动点的唯一性知：Axx∗∗=．同时易得2Axx∗∗=，3Axx∗∗=，…，nAxx∗∗=下面证明x∗的唯一性．设存在1xX∗∈且11()xAx∗∗=，得112Axx∗∗=，113Axx∗∗=，…，11nAxx∗∗=，那么11(,)(,)dxxdAxAx∗∗∗∗==K1(,)nndAxAx∗∗=1(,)dxxα∗∗≤于是1(1)(,)0dxxα∗∗−≤，从而1(,)0dxx∗∗≤，即1xx∗∗=．□第一章度量空间——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授[e-mail]-30-1.5.2Banach不动点定理的应用◇求方程的近似解定理1.5.2设:f→RR是可微函数，且()1'fxα≤，则方程()fxx=具有唯一解．证明根据Lagrange中值定理知存在(,)xyξ∈，使得()()()()'fxfyfxyxyξα−=−≤−，因此f是完备度量空间R上的压缩映射，于是由压缩映射原理知，()fxx=具有唯一解．例1.5.1求方程510xx+−=的根．解显然函数5()1gxxx=+−的导函数为4()510'gxx=+，即g单调递增，且115()0232g=−，(1)1g=，所以原方程只有一个根而且在(0.5,1)内．原方程可写为51xx−=由于51x−不是一个压缩映射，即54(1)5'xx−=在(0.5,1)内并不小于1．将上式改造为5(1)xxλλ−=，即为5(1)(1)xxxλλ−+−=，于是当(0.5,1)x∈及(0,1)λ∈时有54[(1)(1)]15'xxxλλλλ−+−=−−1λ−．令14λ=，531()(1)44fxxx=+−，那么在(0.5,1)上()fx满足3()14'fx于是得()fx是(0.5,1)上的压缩映射，取00.75x=，由迭代1()nnxfx+=可得10.7521x=，20.7533x=，30.7540x=，40.7544x=，50.7546x=，60.7547x=，70.7548x=，80.7548x=，…．若取8x作为不动点x∗的近似解，其误差为80.750.75210.750.000810.75nxx∗−≤−=−．□◇解线性代数方程组泛函分析导论——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授[e-mail]-31-定理1.5.3设1111nnnnaaAaa⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LMML，1nnxxx⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠MR，1nnbbb⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠MR，若对每个1in≤≤，矩阵A满足11nijja=∑，即11max1nijinjaα≤≤==∑，则线性方程组Axbx+=具有唯一解x∗．证明在nR上定义距离1(,)max{}iiindxyxy≤≤=−，其中T12(,,,)nnxxxx=∈LR，T12(,,,)nnyyyy=∈LR，易验证(,)ndR是完备的度量空间．令映射:(,)(,)nnTdd→RR为TxAxb=+．记T12(,,,)nTxuuuu==L，T12(,,,)nTyvvvv==L，于是11111nijjnnnijnjaxbuuuaxb==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∑∑MM，11111nijjnnnijnjaybvvvayb==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∑∑MM．因此1(,)max{}iiindTxTyuv≤≤=−11max{()}nijjjinjaxy≤≤==−∑111max{}max{}nijjjininjaxy≤≤≤≤=≤⋅−∑(,)dxyα=由11max1nijinjaα≤≤==∑可知T是压缩映射，从而存在唯一的不动点x∗，即线性方程组Axbx+=具有唯一解x∗，且可根据迭代1nnxAxb+=+求得方程的近似解．□◇证明隐函数存在定理定理1.5.4设二元函数(,)Fxy在区域{(,),}xyaxby≤≤−∞+∞上连续，关于y的偏导数存在，且满足条件0(,)'ymFxyM≤≤，其中m，M是正常数，则存在连续函数()yfx=，[,]xab∈满足：[,]xab∀∈，(,())0Fxfx=．证明在完备度量空间[,]Cab中定义映射T：()[,]xCabφ∀∈，1()()()(,())TxxFxxMφφφ=−．由于(,)Fxy是连续函数，所以[,]TCabφ∈，即:[,][,]TCabCab→．下面证T是压缩映射．设,[,]Cabφϕ∈，根据微分中值定理得，存在(0,1)θ∈，使得第一章度量空间——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授[e-mail]-32-11()(,())()(,())TTxFxxxFxxMMφϕφφϕϕ−=−−+1()()[(,())(,())]xxFxxFxxMφϕϕφ=−+−1()()[(,()(()())](()()'yxxFxxxxxxMφϕφθϕφϕφ=−++−−(1)()()mxxMφϕ≤−−．记1mMα=−，显然01α，于是有TTφϕαφϕ−≤−，因此[,](,)max()()()()xabdTTTxTxφϕφϕ∈=−[,]max()()xabxxαφϕ∈≤−(,)dαφϕ=因此T是压缩映射，由压缩映射原理知存在唯一的()[,]fxCab∈，使得()()()Tfxfx=即(,())0Fxfx=，[,]xab∈．□◇在微分方程