平面直角坐标系教材分析正式

《平面直角坐标系》教材分析人大附中孙芳2016.3.41一点儿题外话——中考改革带给我的一些思考北京市教育委员会关于本市中考中招与初中教学改进工作的通知注重考查学生9年义务教育的积累；扩大选材范围，突出首都特色，贴近生活，注重实践考试内容与形式初中教学改进工作关注学科内、学科间的联系与整合；注重对学生核心素养的培养；为学生创造更多自主探究的时间和空间（用好各学科平均不低于10%的实践活动课时）2关注核心素养，追求教育本质重视学科实践活动，培养应用意识积累，实践，整合，核心素养夯实基本能力，重视中小衔接一些思考：1.怎样连贯的看知识的发展？2.能力与思维的生长点在哪？如何体现核心素养？——从“树的生长”来看学生的发展3.怎样用教材？提供自主探究与实践的机会？抓住本质实现整合？一点儿题外话——中考改革带给我的一些思考4从学生的角度看平面直角坐标系四上5实际背景下的路线规划问题——贴近生活的描述方式，横平竖直的方向定位6789五下1011生活经验12什么是学生不知道的？——衔接什么是学生想知道的？——兴趣什么是提高思维能力？——素养13第二学段（4-6年级）课标第三学段（7-9年级）课标在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上的点的对应结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置对于有序数对：从用整数对表示一些格点的位置，对一些问题停留在具体操作与初步感知到理解有序数对的内涵（两个维度、有序、可度量、相对性）衔接14衔接第三学段（7-9年级）课标会写出矩形的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形；在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置；在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。15兴趣第三学段（7-9年级）课标理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置坐标与图形运动在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。16兴趣第三学段（7-9年级）课标理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置坐标与图形运动1.旧问题的新视角2.新概念产生的意义与作用（关注问题的引入）3.学习过程中的乐趣体验（教学的设计）4.探求新知的欲望（向后的延展，关注课程发展链）17素养1.定位的方法（二维起始）2.定位的原则（一一对应）3.几何图形的性质通过推演或计算呈现（数形结合）（体会平行，垂直，平移）4.解决实际问题（应用意识）……数形结合，转化（处理高维的基础）等18思考历程古希腊在几何学上皆成就非凡，不过并没有一套发展成熟的代数理论，而代数在了解和解决一些复杂的几何问题上是绝对需要的。三大古代经典作图：倍立方、化圆为方、三等分角笛卡尔的反问：用直尺与圆规作图究竟意味着什么？我如何用这两种工具来创造图形？我们可以绘出两条垂直相交的直线，能否有某种系统可以将图形长度数值用来代表图形本身？这样的系统就可以将几何结构与数字结构结合在一起，可以比古希腊人创造出更多的图形。从教师的角度看平面直角坐标系历史背景——教育的意义19运用数字与图形，释放数学的潜在能力。1637年，笛卡尔的著作《方法论》中有一名为《几何学》的附录，附录中笛卡尔用直尺与圆规做出了数字的平方根。尺规作图所表示的数字远多于有理数所构成的数集。20笛卡尔发明的卡氏坐标系统是由相交的平行线组构成如网格般的坐标系统，可以让我们在二维、三维甚至多维空间中，以数字来描述某一定点的位置。用代数的方法确定一个点的位置，它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数的形式来表达，这样便可以将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可以将先进的代数方法应用于几何学的研究。历史背景——教育的意义21研究问题从最基本的开始，点是图的基本要素，因此从点开始刻画——一种认识问题的方法平面内：要有两个基向量，因此对应两条相交直线；一种感性上的认知：点动成线，线动成面，为什么线动？其实还是需要两个方向除导航系统，卡氏系统还应用在众多领域，例如计算机屏幕中每个像素就是以其在平行与垂直坐标位置中的一对数字来表示的，还有网络上传送档案图片等。此外，还可以对多变量问题进行分析。用坐标法来刻画动态的、连结的点，是沟通代数与几何而形成解析几何的关键。从古希腊时起，在西方数学发展过程中，几何学一直就是至高无上的，解析几何的产生改变了这种传统，将代数方程与曲线、曲面联系起来。22就坐标系而言，除了平面直角坐标系外，还有空间直角坐标系，平面极坐标系，空间极坐标系，斜坐标系，球面坐标系和柱面坐标系等。23从教师的角度看平面直角坐标系课程体系表示格点和渗透变量思想函数贯穿整个代数学习学习解析几何数形结合平面直角坐标系平面上的点←→有序实数对数轴直线上的点←→实数三维空间直角坐标系一维二维确定物体的位置几何（形）←→（数）代数数形结合类比有序数对（图形变换、函数、解析几何）24转化类比!直线平面确定平面两条相交直线两条平行直线特殊化一条数轴两条数轴一维二维25再细化~~一条数轴确定直线上点的位置确定平面内点的位置建立平面直角坐标系两条数轴垂直有公共原点转化到二维以确定位置为基础充分理解建系的必要性点坐标（有序数对）P（x,y）重点进一步体会确定的原则第一节①有序数对②平面直角坐标系第二节③用坐标表示地理位置④用坐标表示平移本章知识结构二维的起始数与形解析法26从教师的角度看平面直角坐标系具体教学建议（衔接、兴趣、素养）•§7.1平面直角坐标系…………3课时–有序数对1课时–平面直角坐标系1课时–具有特殊位置的点的坐标特征•§7.2坐标方法的简单应用…………3课时–用坐标表示地理位置1课时–用坐标表示平移1课时–用坐标计算图形的面积•小结…………1课时271．结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。2．认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标。体会引入有序数对的必要性体会点与坐标之间的对应性3．对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单的图形。本章学习目标284．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用；在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。体会建立坐标系的相对性5．在平面直角坐标系中，能用坐标表示平移.通过研究平移与坐标的关系，体会数形结合的思想。29关键问题一位置的确定【方案1】引入（利用经验）——位置的确定——猜图描述：对称的，象王冠，三个尖画不出来……描述：画一条线段，上面画三个等腰三角形画不像……描述：从线段左端点沿45°向上画，好，停；再向右下画……确定图形，关键是…找点，两个条件确定点，能举出一些例子吗（小学的经验）一个条件可以吗？何时可以？两个条件何时不可以？30研究问题从最基本的开始，点是图的基本要素，因此从点开始刻画——一种认识问题的方法队列中某个士兵的位置图书馆内某本书的位置海战中前方舰艇的位置高速路上某一出口的位置地图上某个建筑的位置棋盘上某个棋子的位置电影院里某个座位的确定火车某节车厢的确定【方案2】31调动已有经验，密切结合生活实际，，利用学生熟悉的素材——体会平面上位置的确定用两个数，体会有序数对实例：国庆阅兵、航海、电影院座位、邮箱设置等32目的：对多维的感知，寻找能确定位置的系统——建系的必要性有序数对的教学2、怎样定序？是要有对序的定义——以何为序？一种人为约定方式（符合实际、简洁直观）一种建系的法则为下一课时做好准备1、为什么定序？对序的理解（与顺序有关）；位置不同，意义改变深入理解它也是一种对应关系333、对有序数对的深入理解有序性相对性(找坐位等身边的问题易于学生理解,可为建系做铺垫)可度量性(前后两个数的绝对值可表示距离)可为突破坐标和距离转化这一难点做铺垫,并且能够更好地理解坐标原点如果用(1,1)表示,实际如第一排第一列作为参照点,(3,2)到第一排的距离2,而不是3，和标记的单位不一致,涉及到计算)34关键问题二系统的原则设计合理的系统，使其可以确定平面内的点——开创新方法相交的平行线组数形转化会有歧义吗？35平面内：要有两个基向量，因此对应两条相交直线；一种感性上的认知：点动成线，线动成面，为什么线动？其实还是需要两个方向用“到已知两点A、B的距离”刻画上下为正负数对不唯一点有数对，数对无点体会什么叫位置的确定与一一对应的原则362、坐标系的引入：类比数轴（参照）线上的点——面上的点一条直线——两条相交直线——两条垂直直线3、建系、描点、观察、总结（让学生充分探索）——结合画法认识平面直角坐标系的有关概念由坐标描点，由点写坐标（可以设计一些小活动）平面直角坐标系的教学1、点与坐标的对应如何解释？（几何依据）点唯一，垂线唯一，交点唯一37五子棋……38oyx-7-6-5-4-3-2-1-7-6-5-4-3-2-175643217654321开放式探究关键问题三变量的思想开放性探究点的坐标特征（探究结果分成两大部分）①一个点：坐标表示、符号特征、几何意义②两个或多个有特殊位置关系的点的坐标关系建议：结合习题补充平行于x轴、y轴的直线特点及象限角平分线上点的坐标的特点。39易错点①画数轴时单位长度何时一致？②有序数对的意义不清③混淆点到x轴、y轴的距离与坐标的关系④数轴上点的坐标的负迁移（直角坐标系中两轴上的点）较好学生可以进一步研究：体会两条平行线间的距离二、四象限角分线点的坐标特征平面上横坐标相同的点形成的图形平面上某个区域的点的坐标特征等等40关键问题四数形结合点坐标（有序数对）P（x,y）图形特别的：纵坐标与横坐标之间的对应形式多样：（x，2x）二元一次方程的解描点看形状数形转化的优越性特殊几何图形；函数图象41几何图形可以通过代数的形式来表达，可以将先进的代数方法应用于几何学的研究;抽象的代数方程可以用形象的几何图形表示出来。用坐标表示地理位置的教学1、由图建系，由坐标建系（形与数）2、会根据实际情况选择明显或熟悉的地点为原点，按习惯选择向东、向北为横、纵轴的正方向，建立平面直角坐标系关键问题五实际应用423、确定适当比例尺，从而确定坐标系中的单位长度是画出平面示意图的重要环节4、建系的相对性43用坐标表示平移的教学1、主要探究点平移引起点的坐标的变化规律图形上的点的坐标变化引起图形的平移变化2、研究图形的平移，可归结为研究图形顶点的情况，明确将图形平移只改变其位置，不改变其大小、形状3、如果横、纵坐标都变化的平移则可分解为沿横轴与纵轴的平移B3B2B1A3A2A1B1B2A1A244三种变换中点的坐标的变化规律易错点：平移时找错对应点观察可以进一步拓展伸缩变换45已知A（0，0），B（4，2），C（6，6），D（2，4）依次连接各点得到四边形ABCD（1）画出图形并计算四边形的面积（2）按要求绘制下列图形，并说明图形变化方式①横坐标不变，纵坐标都乘以-1②纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍③横坐标都乘以2，纵坐标都-5【拓展例题】用概念解题——变换注意图形与对应的文字语言46【例题】利用网格求面积——体会研究面积问题割补法（可将图形围在一长方形或直梯形中，利用图形分割求出面积）可以设计等积变换问题关于计算图形面积的教学47坐标与图形位置坐标与图形运动了解有序数对的概念；知道用有序数对可以表示物体的位