函数值域求法大全

这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。求函数值域方法很多，常用方法有：（1）配方法（3）判别式法（2）换元法（4）不等式法（5）反函数法、（6）图像法（数形结合法）（7）函数的单调性法(导数）（8）均值不等式法例1求函数如图，∴y∈[-3/4,3/2].21(11)2yxxx的值域。分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。2minmax13(),1,1,2433,1,,42yxxyxy解：1x=，2oxy-113/2-3/41/2例2求函数分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。21223xxx2xy=的值域。的值域求函数例3221222xxxxy0)13()12()12(12yxyxyR，则变形可得：：由函数知定义域为解法2101321,21012yyy故左边代入方程，时即当），域为综上所述，原函数的值得：21103[21103yy01312412210122））（（）（，必有时，因即当yyyRxyy例3求函数的值域.11xxeye解：变形可得1(1)1,1,01xxyyeyyey0(1)(1)0,1yyy＋1即故－y1.y-1∴函数的值域为(-1,1)。例5求下列函数的值域：分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。;135)1(xxy例5求下列函数的值域：21解：（1）令t=3x-10,有x=(t+1),32211365于是y=5-(t+1)+t=-(t-)+,33212]1265,(,1265,23maxyyt故;135)1(xxy分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之。xxy53)1(例7求下列函数的值域：xxy53)2(解法1：不难看出y≥0,且可得定义域为3≤x≤5,原函数变形为：xxy53)1(例7求下列函数的值域：解法2：(判别式法).两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≥0,y看成常数,方程有实根的条件是△=162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4)≥0,注意到y20得y2-4≤0即0y2≤4而y2-2≥0即有√2≤y≤2,∴y∈[√2,2].上是单调增函数，在上也是单调增函数，在上是单调增函数，在，得定义域为解：由]53[x53-xy]53[x-5y]53[3-xy5][3xx53xy)2(]2,2[y2y52y3maxmin故原函数的值域为时，当时，当xx例6求下列函数的值域：22212(1)2;(2)log(21).xxyyxx分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞),则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y∈〔1/2,+∞).(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u0,故y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函数值域的为y∈〔-1,+∞)。例11求函数y=√x2-2x+10+√x2+6x+13的值域。分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。A1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoPA1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoP将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。解：函数变形为y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2.A1(1,-3)yA(1,3)B(-3,2)xoP如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明2211(13)(32)41.PAPBBABA最小，所以原函数值域的为y∈[√41,+∞).