31斐波那契数列与黄金分割

1第三节斐波那契数列与黄金分割2我们先来做一个游戏！3十秒钟加数请用十秒，计算出左边一列数的和。1235813213455+89??时间到！答案是231。4十秒钟加数再来一次！3455891442333776109871597+2584????时间到！答案是6710。5这与“斐波那契数列”有关若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1,1,2,3,5,8,13,……6一、兔子问题和斐波那契数列1．兔子问题1）问题——取自意大利数学家斐波那契的《算盘书》（1202年）(L.Fibonacci,1170-1250）7兔子问题假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？8解答1月1对9解答1月1对2月1对10解答1月1对2月1对3月2对11解答1月1对2月1对3月2对4月3对12解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对13解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对6月8对14解答1月1对2月1对3月2对4月3对5月5对6月8对7月13对15解答可以将结果以列表形式给出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契问题的答案是144对。以上数列，即“斐波那契数列”16兔子问题的另外一种提法：第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ大兔对数1123581321345589144小兔对数01123581321345589到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。规律172．斐波那契数列1）公式用表示第个月大兔子的对数，则有二阶递推公式nF12121,3,4,5nnnFFFFFnn182）斐波那契数列令n=1,2,3,…依次写出数列，就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…这就是斐波那契数列。其中的任一个数，都叫斐波那契数。19二、相关的问题斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。201．跳格游戏21如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第1格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种方法，跳到第n格？解：设跳到第n格的方法有种。由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一种方法，从而nt121tt22而能一次跳入第n格的，只有第和第两格，因此，跳入第格的方法数，是跳入第格的方法数，加上跳入第格的方法数之和。即。综合得递推公式容易算出，跳格数列就是斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…1n2n1nt2n2nt12nnnttt12121(3,4,5,)nnntttttnnnt1n23三、黄金分割1．定义：把任一线段分割成两段，使，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）1x大段小段全段大段小段大段1x242．求黄金比解：设黄金比为，不妨设全段长为1，则大段=，小段=。故有，解得，其正根为ABxx11xxx210xx152x510.61803390.6182x1x小段大段253．黄金分割的尺规作图设线段为。作，且，连。作交于，再作交于，则，即为的黄金分割点。AB12BDABBDABAD()DDBAD()AAEABC512ACABCABE152EDCBA26证：不妨令，则，，，证完。1BD2AB2215AD51AEADED5151,2ACACAEAB274.黄金分割的美黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“合谐”。例如:281）人体各部分的比肚脐：（头—脚）印堂穴：（口—头顶）肘关节：（肩—中指尖）膝盖：（髋关节—足尖）292）著名建筑物中各部分的比如埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为340∶553≈0.615303）美观矩形的宽长比如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）4）风景照片中，地平线位置的安排31EDCBAE'D'C'B'A'5）正五角星中的比0.618ABAD0.618ABAC326）舞台报幕者的最佳站位在整个舞台宽度的0.618处较美7）小说、戏剧的高潮出现在整个作品的0.618处较好33四、优选法1．华罗庚的优选法（“0.618法”）二十世纪六十年代，华罗庚创造了并证明了优选法，还用很大的精力去推广优选法。“优选法”，即对某类单因素问题，用最少的试验次数找到“最佳点”的方法。34例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到2000克之间，现求最佳加入量，误差不得超过1克。最“笨”的方法是分别加入100克，1002克，…，1000克，做1千次试验，就能发现最佳方案。35一种动脑筋的办法是二分法，取1000克2000克的中点1500克。再取进一步二分法的中点1250克与1750克，分别做两次试验。如果1750克处效果较差，就删去1750克到2000克的一段，如果1250克处效果较差，就删去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果决定下一次的取舍，这种“二分法”会不断接近最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大减少。36表面上看来，似乎这就是最好的方法。但华罗庚证明了，每次取中点的试验方法并不是最好的方法；每次取试验区间的0.618处去做试验的方法，才是最好的，称之为“优选法”或“0.618法”。华罗庚证明了，这可以用较少的试验次数，较快地逼近最佳方案。37五、数学的统一美数学中，“从不同的范畴，不同的途径，得到同一个结果”的情形是屡见不鲜的。这反映了客观世界的多样性和统一性，也反映了数学的统一美。黄金分割点0.618的得到，是一个能说明问题的例子38从不同途径导出黄金比1．黄金分割：线段的分割点满足，这一比值正是。2．斐波那契数列组成的分数数列的极限正是。510.6182大段小段全段大段512111235,,,,,12358nnFF512393．方程的正根是4．黄金矩形的宽长之比正是5．连分数的值正是6．优选法的试验点，正是我们看到了数学的统一美。512512111111x512512210xx40六、斐波那契协会和《斐波那契季刊》1．斐波那契协会和《斐波那契季刊》斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。41有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快”，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。422．斐波那契生平斐波那契（Fibonacci.L,1175—1250）出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学。斐波那契确信印度—阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家里不久，他发表了著名的《算盘书》。43斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了《算盘书》外，保存下来的还有《实用几何》等四部著作。443．自然界中的斐波那契数斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。下面举几个例子。451）花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。46花瓣中的斐波那契数花瓣的数目海棠（2）铁兰（3）47洋紫荊（5）蝴蝶兰（5）黃蝉（5）花瓣中的斐波那契数花瓣的数目48花瓣中的斐波那契数花瓣的数目雏菊（13）雏菊（13）492）树杈的数目13853211503）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数5152向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。53松果种子的排列54松果种子的排列55松果种子的排列56菜花表面排列的螺线数（5-8）57这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。583）股票指数增减的“波浪理论”①完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相继两斐波那契数；②每次股指增长幅度（8，13等）或回调幅度（8，5），常是相继两斐波那契数。股指变化有无规律？回答是肯定的。59时间股指601934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪理论”。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的5（或8）个波组成，其中3上2下（或5上3下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此。注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中的数。61同时，每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成。比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应在5点左右。显然，5、8、13为斐氏数列的相邻三项。62时间股指63可以说，斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的种种应用，是这个奥秘的不同体现。642）用斐波那契数列及其推广变魔术①让观众从你写出的斐波那契数列中任意选定连续的十个数，你能很快说出这些数的和。其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数的11倍。1123581321345589144233377610987…65“十秒钟加数”的秘密数学家发现：连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11倍！1235813213455+89??所以右式的答案是：2111=23166“十秒钟加数”的秘密又例如：右式的答案是：3455891442333776109871597+2584????61011=6710676．斐波那契数列的一些更深刻的性质1）通项公式一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数的式子表达，这是十分意外的结果。该证明由法国数学家比内（Binet）做出。11515235nnnF5682）斐波那契数列的后项除以前项做成的分数数列的极限为黄金比的倒数称为第二黄金比。即有12358,,,,,1123522(51)511.618251(51)(51)12lim1.61851nnnFF69本节结束谢谢70斐波那契数列的有趣特性数学家发现了许多斐波那契数列的特性。例如：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…第3、6、9、12等项的数字能被2整除。第4、8、12等项的数字能被3整除。第5、10等项的数字能被5整除