空间向量在立体几何中的应用(重点知识+高考真题+模拟精选)精品

空间向量在立体几何中的应用【重要知识】一、求平面法向量的方法与步骤：1、选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，如ACAB,2、设坐标：设平面法向量的坐标为),,(zyxn3、解方程：联立方程组00ACnABn，并解方程组4、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。设定某个坐标为常数得到其他坐标二、利用向量求空间角：1、求异面直线所成的角：设ba,为异面直线，点CA,为a上任意两点，点DB,为b上任意两点，ba,所成的角为，则BDACBDACcos【注】由于异面直线所成的角的范围是：900，因此0cos2、求直线与平面所成的角：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n所成的角为，则nanacossin【注】由于直线与平面所成的角的范围是：900，因此0sin3、求二面角：设21,nn分别为平面,的法向量，二面角l为，则21,nn或21,nn，其中212121,cosnnnnnn三、利用向量求空间距离：1、求点到平面的距离设平面的法向量为n，,AB，则点A到平面的距离为nnAB2、求两条异面直线的距离设21,ll是两条异面直线，n是公垂线段AB的方向向量，DC,分别为21,ll上的任意两点，则21ll与的距离为nnCDAB【重要题型】1、（2012广东，理）如图所示，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为矩形，ABCDPA平面，点E在线段PC上，BDEPC平面（1）证明：PACBD平面（2）若2,1ADPA，求二面角APCB的正切值2、（2013广东，理）如图①，在等腰三角形ABC中，90A，6BC，ED,分别是ABAC,上的点，2BECD，O为BC的中点。将ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥BCDEA，其中3OA。（1）证明：BCDEOA平面（2）求二面角BCDA的平面角的余弦值3、（2009广东，理）如图，已知正方体1111DCBAABCD的棱长为2，点E是正方形11BBCC的中心，点GF,分别是棱11DC、1AA的中点，设,1E1G分别是点GE,在平面11DDCC内的正投影。（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面11DDCC内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线11FEEFG平面；（3）求异面直线11GE与EA所成角的正弦值。4、（2013课标，理）如图，直三棱柱111CBAABC中，ED,分别是1,BBAB的中点，ABCBACAA221（1）证明：CDABC11//平面；（2）求二面角ECAD1的正弦值.5、（2012辽宁，理）如图，直三棱柱CBAABC，90BAC，AAACAB，点NM,分别为BA和CB的中点（1）证明：CACAMN平面//；（2）若二面角CMNA为直二面角，求的值.6、（2010辽宁，理）已知三棱锥ABCP中，ABCPA平面，ACAB，ABACPA21，N为AB上一点，ANAB4，SM,分别为BCPB,的中点。（1）证明：SNCM；（2）求SN与平面CMN所成角的大小.是半径为a的半圆，AC为直径，点E为7、（2010广东，理）如图，的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足aFDFB5，aFE6（1）证明：FDEB；（2）已知点RQ,分别为线段FBFE,上的点，使得FEFQ32，FBFR32，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.8、（2013汕头高二统考，理）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又4PAAB，120CDA，点N在线段PB上，且2PN．（1）求证：BDPC；（2）求证：//MN平面PDC;（3）求二面角APCB的余弦值．MDCBAPN【参考答案】1、（1）证明：ABCDPA平面，ABCDBD平面，BDPA又BDEPC平面，BDEBD平面，BDPCPPCPA，PACBD平面（2）解：PACBD平面，PACAC平面，ACBDABCD矩形是正方形建立如图所示的坐标系xyzA，则)0,0,0(A，)1,0,0(P，)0,2,2(C，)0,0,2(B)1,0,0(AP，)0,2,2(AC)1,0,2(BP，)0,2,0(BC设平面PAC的一个法向量为),,(1111zyxn则0011nACnAP，即0220111yxz令11x，则0,111zy，即)0,1,1(1n设平面PBC的一个法向量为),,(2222zyxn，则0022nBPnBC，即020222zxy令12x，则2,022zy，即)2,0,1(2n1010521,cos212121nnnnnn设二面角APCB的大小为，则1010cos，10103sin3tan2、（1）证明：连接OEOD,由图①得，22,23,3ADACOC在OCD中，由余弦定理可得，545cos2222CDOCCDOCOD，即5OD由翻折的不变性可知，22ADDA222DAODOA，ODOA同理可证，OEOA又OOEOD，BCDEOA平面（2）解：以O点为原点，建立空间直角坐标系xyzO如图所示则)0,2,1(),0,3,0(),3,0,0(DCA所以)3,3,0(CA，)3,2,1(DA设平面CDA的一个法向量为),,(zyxn，则00nDAnCA即032033zyxzy令1x，则3,1zy，即)3,1,1(n由（1）知，)3,0,0(OA为平面CDB的一个法向量515533,cosOAnOAnOAn即求二面角BCDA的平面角的余弦值为5153、（1）解：依题意得，111DDCCEE平面，且四边形FGAE在平面11DDCC内的正投影为四边形11DEFG点E是正方形11BBCC的中心，11EE111111111DCEFCEGFDDDCCDEFGSSSSS221211121112122故所求的四棱锥的体积为3212313111111EESVDGFEDEFCE（2）证明：由（1）知，FCE11与FDG11都是等腰直角三角形9011FEG，即11FEFG又111DDCCEE平面，111DDCCFG平面，11FGEE111EFEEE，11FEEFG平面（3）解：以D为原点，DADCDD,,1分别为z轴，y轴，x轴的正向，121DD为1个单位长度，建立空间直角坐标系，则)1,2,0(),1,0,0(),2,1,0(),1,2,1(11EGFE)0,0,2(,A)1,2,1(EA，)0,2,0(11GE111111,cosGEEAGEEAGEEA3626433)36(1,sin211GEEA4、（1）证明：连接1AC交CA1于点F，则F为1AC中点又D是AB中点，连接DF，则DFBC//1CDADF1平面，CDABC11平面，CDABC11//平面（2）由ABCBAC22得，BCAC以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyzC，设2CA，则)0,1,1(D，)1,2,0(E，)2,0,2(1A，)0,1,1(CD，)1,2,0(CE，)2,0,2(1CA设),,(1111zyxn是平面CDA1的法向量，则00111CAnCDn，即02201111zxyx，可取)1,1,1(1n同理，设),,(2222zyxn是平面CEA1的法向量，则00122CAnCEn，即022022222zxzy，可取)2,1,2(2n从而33333,cos212121nnnnnn，故36,sin21nn即二面角ECAD1的正弦值为365、（1）证明：连接CABA,三棱柱CBAABC为直三棱柱，M为BA的中点M为BA的中点又N为CB的中点CAMN//CACACA平面，CACAMN平面CACAMN平面//（2）以A为坐标原点，分别以直线AAACAB,,为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyzA，如图所示：设1AA，则ACAB于是)0,0,0(A，)0,0,(B，)0,,0(C)1,0,0(A，)1,0,(B，)1,,0(C因此，)21,0,2(M，)1,2,2(N设),,(1111zyxn是平面MNA的法向量，由0011MNnMAn得，021202121111zyzx，可取),1,1(1n同理，设),,(2222zyxn是平面MNC的法向量，由0022MNnNCn得，021202222222zyzyx，可取),1,3(2nCMNA为直二面角021nn，即0132，解得26、（1）证明：设1PA，以A为原点，APACAB,,分别为zyx,,轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则)0,0,21(),21,0,1(),0,0,2(),0,1,0(),1,0,0(NMBCP)0,21,1(S)0,21,21(),21,1,1(SNCM由002121SNCM可知，SNCM（2）)0,1,21(NC设),,(zyxn为平面CMN的一个法向量由00CMnNCn得，021021zyxyx，可取)2,1,2(n设SN与平面CMN所成角为，则22223211,cossinSNnSNnSNn457、（1）证明：E为的中点，BCAB，AC为直径ADEB222EBFBFEFBEB又BADFB，BDFEB平面BDFFD平面，FDEB（2）如图，以B为原点，BDBE,分别为yx,轴正方向，过B作平面BEC的垂线，建立空间直角坐标系xyzB，连接FC由此得，)0,0,(),0,2,0(),0,,0(),0,0,0(aEaDaCBCDBCFBFD,BDFCaFC2FBFRFEFQ32,32)32,31,0(aaR)0,0,32(32aBERQ)32,35,0(aaRD设平面RQD的法向量为),,(1111zyxn，由0011RQnRDn得，03203235111axazay，可取)5,2,0(1n同理，设平面BED的法向量为),,(2222zyxn，可取)1,0,0(2n29295295,cos212121nnnnnn29292,sin21nn平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为292928、证明：（1）因为ABC是正三角形，M是AC中点，所以BMAC,即BDAC………………1分又因为PAABCD平面，BD平面ABCD，PABD………………2分又PAACA，所以BD平面PAC………………3分又PC平面PAC，所以BDPC………………4分（2）在正三角形ABC中，23BM………………5分在ACD中，因为M为AC中点，DMAC，所以ADCD12