高中物理竞赛-万有引力与天体运动

万有引力定律与天体运动两体问题仅有两个质点组成的孤立系统，两个质点的质量为m1、m1，相互作用力大小为f，从m1至m2的矢径为.R对m2，由牛顿第二定律有2222drfmdt……………（）将（1）代入（2）：212212.mmdRfmmdt121212()mmmmmm令称为与的折合质量，则有223dRfdt………………（）（3）式表明，若取m1为参照系（一般不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立），则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为μ的质点在中心力的作用下按牛顿第二定律所形成的运动，而无须考虑惯性力的作用.f取二者的质心C为参照系（惯性系）.设C到m1的矢径为.rr1121mrRmm…………（）有Cr1m2mRff“卫星怪象”问题卫星（质量为m）与地球（质量为M）系统的总能量为.2MmEGr21().22MmMmmvGGrr即于是可知2122MmmvGr1.2KPEEE对两端的变化量有即1.2KPEEE(G).2Mmr()KE()E1()2PE　一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：a、可将该两天体作为二体问题处理.b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.二、引力问题的基本动力学方程如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动.vr太阳mMrvrv行星的横向加速度等于零.(=)rrdvardt有径向动力学方程22()rrdvMmmamrGdtr解题知识与方法研究在太阳惯性参照系中，由牛顿运动定律和引力定律vr太阳mMrvrv211sin22rvr常量此式变化后即得开普勒第二定律：表明：开普勒第二定律是角动量守恒定律的特殊表现.开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机械能守恒221()2MmmvGr常量当然，此方程也不限于行星做椭圆轨道运动！因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量守恒2sinrrmvrmvrm常量三、天体绕日运动的轨道与能量0rrvMm根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程：2222232.,1.1cospLELrpeeGMmGMm（其中，）轨道方程为一圆锥曲线方程：（1）01Ee时，，为椭圆，（即开普勒第一定律）；2GMmEa总能量为：（2）01Ee时，，为双曲线的一支，总能量为：GMmEaOxy(,0)FcMmabroabcmMrxy焦点M位于其中一个内焦点M位于01Ee时，，为抛物线，（3）总能量为：0EFMmxyOM位于焦点.cea2(1)pae例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体.其间的质量损失可忽略.试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.解计算新星体C的机械能.在径向：可认为在A、B靠拢过程中质心未动.所以C到太阳的距离为123ABABmRmRRmm在切向：A、B合并过程中动量也守恒，()ABCAABBmmvmvmv②则有研究②式中的vA、vB：1.AGMvR故因A作圆运动，CABM日()1R2R例题解答CvAvBv3R.CR3设距日,三星速度如图①12ABABmmRmm所以22BGMvR利用①③，C星体的机械能为111()()22ABABABABGMMmmmmGmmRRmm因此，新星体C的轨道为椭圆.EA0，EB=0，EA+EB=？EC与(EA+EB)谁大谁小？C的轨道是什么？将vA、vB代入②得12CGMvR③ABM日()1R2RCCvAvBvB作抛物线运动，机械能为零.因而有2210.2BBBMmmvGR122GMR1AGMvR（）①312ABABmmRRmm21()()2ABCABCCMmmEmmvGR11().2(2)AABABMmmmGmmR0思考本题能不能直接判断？例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）行星绕太阳作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS.试用物理方法求椭圆各定点处的曲率半径.解行星运动情况如图.由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得2212SMmmvGAC21()2ACv由图可知sinBA，代入②式得123111()()222ACvACvBv③由①③解得123,,.SSSGMGMGMACACvvvBABAA22MmvFGmr，据123ABCS41v2v3v2112SMmmvGAC①2312SMmmvGA11()2ACv②31sin2Av1234ABC1v2v3vS求顶点1处的曲率半径ρ1：2111vmF将前面得到的v1代入，求顶点3处的曲率半径ρ3：2333sinvmF3F1F将前面得到的v3代入，2SMmBGAA2()SMmGAC2sinSMmGA题后小结与思考椭圆上其他点曲率半径能不能用此方法得到？求抛物线任意点的曲率半径、正弦曲线顶点的曲率半径.1SGMACvBA21.BA即得3SGMvA23.AB即得例3（卫星怪象问题）质量为m的人造卫星在绕地球（质量为Me）的飞行过程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球.因f很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r的圆周轨道，但r将逐周缩短.试求在r轨道上旋转一周，r的改变量及卫星动能EK的改变量.解卫星的动能、势能、总机械能为2211,,.22eeKPMmMmEmvEGEmvGrr在运行中万有引力作为向心力22eMmvmGrr将此代入EK、E的表达式，可得到,22KGMmGMmEErr卫星旋转一周摩擦力做功为(2)fWfr2GMmEErrr由可知，卫星旋转时总机械能的小增量（实为减少)和轨道半径的小改变的关系是()()2()2eeMmMmGGrrr()()EErrEr()eGMmrrrr2.2eGMmrr所以卫星每旋转一周，r的改变量为34.rfrrGMm（减小）动能的改变量为KEE由功能关系，当卫星旋转一周时，有.fWE2(2)2eGMmfrrr即(2)rf2rf,2.2KGMmErGMmEr例4（星体运动的阻力）一个质量为M、半径为R的星球以速度V通过质量密度为的非常稀薄的气体,由于它的引力场，此星球将吸引迎面接近它的粒子，并俘获撞在它表面上的所有的气体分子.设相对于速度V，分子的热运动速度可忽略.分子间的相互作用不计.求作用在星体上的阻力.解为方便研究问题取星球为参照系.气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示.bV在横截面为的圆柱体内的分子才能与星球相碰.2Sb研究圆截面边缘上的一个分子：设被俘获前的瞬间（A点处）的速度为v.由角动量守恒得vRVb由机械能守恒得221122GMvVRvb联立消去，解得：222GMRbRVAv设气体受到的阻力为f（等于星球所受阻力），2{()}ftbVtV222().GMRVRbV使气体的动量改变为由动量定理知星球在Δt时间内得到22fVb22222()GMRVRV222GMRbRVAv例5（飞船着陆问题）一质量为m=12×103kg的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动，其高度h=100km.为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P点作一短时间发动.从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s，月球半径为R=170km，月球表面的落体加速度g=1.7m/s2.飞船可用两种不同方式到达月球（如图所示）：（1）向前喷射气流，使飞船到达月球背面的A点（与P点相对），并相切.（2）向外喷射气流，使飞船得到一指向月球中心的动量，飞船轨道与月球表面B点相切.试计算上述两种情况下所需要的燃料量.解喷气后，飞船轨道由圆变成了的椭圆的一部分（如图）.设飞船喷气前的速度v0，月球质量为M，月球表面的重力加速度为2GMgR代入上式，便得20165gRvRh2(m/s)（1）PAo（2）PBo0v0vMM202()()vMmmGRhRh则有求出喷气前、后飞船的速度问题即可解决！（1）设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1.到达A处速度为vA.联立此两式消去vA解得3121628/()(2)gRvRrRhms对喷气前后的短暂过程，由动量守恒有1()mvu1解得1.m324(kg).（2）因沿圆半径向外喷气使飞船在向心方向获的速度vr，从而飞船的速度变为2220.rvvv同样有角动量和能量守恒方程()vRvRhB0222011()22rBMmMmmvvGmvGRhR（1）PAo（2）PBo0v0vMMAv1vrv2v0v1()AvRvRh2211122AMmMmmvGmvGRhR则由角动量守恒和能量守恒得设喷出的气体质量为Δm1,0mv11()mmv联立此两式消去vB解得0/rhvvR97(ms).对喷气前后的短暂过程，在沿原半径方向上由动量守恒有解得2116.4m(kg).显然，21.mm所以选择第一种方式登月较省燃料.题后思考仔细研究如何计算喷出的气体相对月球的速度！（1）PAo（2）PBo0v0vMMAv1vrv2v0v设喷出的气体质量为Δm2,02()rmmv2()rmuv例6质量为M的宇航站和已对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径的n=1.25倍.某瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR.问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇.解发射前后飞船、宇航站的运动情况如图.M记地球质量为ME，发射前共同速度为u.由22()()()EuMmMMmGnRnR得.EGMunR记分离后的瞬间飞船速度为v，宇航站速度为V.由动量守恒有()MmuMVmvvV所求的比值为mVuMuv①进一步研究分离后飞船和宇航站的运动，求v、V：R原轨道nRnR8mnRnR8MmR原轨道vV研究分离后的飞船：由开普勒第二定律及能量守恒定律有11()(8)22nRvnRv2211228EEMmMmmvGmvGnRnR由此两式解出4433EGMvunR②研究分离后的宇航站：由开普勒第二定律及能量守恒定律有11()22nRVrV221122EEMMMMMVGMVGnRr由此两式解出③22ErGMrVunRrnRnRrrVv设远地心点的速度为v′，设近地心点的速度为V′，距地心r.研究分离后的相遇以求得r：nRnR8MmR原轨道vVrVv设飞船的周期为t，宇航站的周期为T.由开普勒第三定律有22338()()22tTnRnRnRr即329()()nRtnRrT确定t/T：因飞船运行一周恰好与宇航站相遇，所以.12tkTk、、、、.34代入上式，得23239krnRk④故应宇航站不能与地球相碰（只要近地点不碰，其它点便不会相碰）.rR将④代入，得nRnR8MmR原轨道vVrVv23239knRRk即23239.kk1251所以11.k由上述