数量关系模块宝典笔记-李委明

基础数列六大类型:(1)常数数列;(2)等差数列;(3)等比数列;(4)质数型数列;(5)周期数列;(6)简单递推数列。单数字发散：一个数字可以变化为不同两个数字多种相加、减、乘、除、幂指数加减修正数和阶乘加减修正数的形式多数字联系：（1）将各个数字化为同种形式，如幂指数，找出数字存在的规律，如指数与底数分别为等差、等比、质数列等数列；（2）第三个数字由第一、二个数字经过加、减、乘、除、幂运算、位数、数字修正后得到二、三级特殊数列：做差后的数列基本类型:1.二、三级质数数列;2.二、三级周期数列;3.二、三级幂次数列;4.二、三级递推数列;5.其他二级特殊数列。做商多级数列基本特征:数字之间倍数关系比较明显。三大趋势:(1)数字分数化、小数化;(2)两两做商得到一个“非等差形式”简单数列;(3)两两做商得到一个“非整数形式”简单数列。题型拓展基本知识点:1.多级数列近年来在考查形式上，出现了少量两两做和与两两做积的类型;2.多级数列的拓展还可能出现“级层深度化”(比如四级数列)、“运算灵活化”(不一定是相邻项的运算)两种趋势。第三章多重数列数列基本类型:(1)交叉数列:数列的奇数项与偶数项分别呈现规律;(2)分组数列:数列中数字两两分组，然后进行组内的“十一X=”等四则运算。数列基本特征:(1)数列较长:多重数列加上未知项，一般共8项或8项以上;(2)两个括号:如果数列含有两个未知项，那么几乎可以判定这一定是多重数列。第一节交又数列基本解题思想:1一般交叉数列中，奇数项与偶数项独立成规律，分别是两个较简单的数列;2.在交叉数列中，如果奇数项规律明显而偶数项规律不明显，那么偶数项的规律可能依赖于奇数项的规律，如奇数项两两做和构成偶数项，反之亦然。第二节分组数列基本解题思想:1.分组数列一般只有两两分组的情况，所以项数(包括未知项)一般是8或10项;2.两两分组后进行组内“+一又令”等运算，这是分组数列的基本解题思想;3.事实上有大量的数列题，既可以看成交叉数列，也可以看成分组数列，最终可以得到相同的结果。题型拓展主要方向:1.多重数列的主要拓展方向是“机械分组”，即将数列当中的每个数字的每一位拆开单独进行考虑，从而形成某种规律;2.多重数列还可能在分组方式(首尾分组)和交叉方式(三项交叉)上进行拓展。核心提示所有机械分组数列都有一个基本特征:每个数字都较大，并且所有数字位数都相等。中间数字是两边数字的和机械分组为:[161151,[24122],[361291,[541361,[xIyl,第一组16,24,36,54,x构成等比数列，x=81;第二组15,22,29,36,y构成等差数列，Y=43.机械分组为:[1211201,[1210601,[1210401,[1210301,[12102410每组内左边数字除以右边数字分别得0.1,0.2,0.3,0.4,0.5机械分组为:[1I4I31,[1!512],[2}2141,[311141,[3121的三个数字之和均为8机械分组，每个数字的个位数除以十位数分别得:1,2,3,4,5,60机构分组，每个数字的个位数等于其百位与十位数字之和。机械分组为:[461351,[371281,[321251.,[261211,[221191,[141前一个数字减去后一个数字分别得11,9,7,5,3,10机械分组，将每个数字的百位和十位放到一起，千位和个位放到一起，得到这样的形式:[141141,[26113],[451151,[52113],[851171,[96116]，每组前一个数字除以后一个数字分别得1,2,3,4,5,60械分组，其中年份、月份、日期分别成等差数列首尾分组数列:3+(9)=6+6=7+5=10+2=120[注释〕事实上，对于所有首尾分组两两相加为定值的数列到一个对称数列。三项交叉数列:第一、四、七、十项:4,6,8,10偶数数列第二、五、八、十一项:3,6,12,(24)等比数列第三、六、九、十二项:2,3,5,7质数数列第四章分数数列基本知识点:(1)经典分数数列是以数列中分子分母为研究对象的数列形式(2)当数列中含有少量非分数形式，常常需要以“整化分”的方式将其形式统一;(3)当数列中含有少量分数，往往是以下三种题型:①负幂次形式;②做积商多级数列;③递推积商数列。第一节基市分数数列基本分数数列解题思路:1.观察特征，各分数的分子与分母之间存在一个直观的简单规律。2.分组观察，分子与分母分别为一个简单数列。观察特征:从第二项开始数列中每个数的分子为前一个数分子、分母之和，分母为前一个数分母与自身分子之和。[解一〕分组观察:分子是递推和数列，分母也是递推和数列。〔解二〕观察特征:从第二项开始数列中每个数的分子为前一个数的分母，分母为前一个数分子与分母之和。分组观察:分子是等差数列，分母是等比数列，符号皆为负分组观察:分子是平方数列，分母是等差数列，符号正负交替。分组观察:分子是二级等差数列，分母是二级等差数列。分组观察:分子是等差数列，分母是二级等比数列。分组观察:分子是等差数列，分母是二级等差数列。分组观察:分母是等差数列，分子是二级等差数列。分组观察特征:分子是二级等比数列，分母为前一个分数分子、分母之和。第二节典型解题技巧典型解题技巧分类:(1)经典约分;(2)经典通分;(3)分子通分;(4)分母/分子有理化。一、经典约分:当分数的分子与分母含有相同因子时，应将其化成最简式所有分数都可以约分变为7/3二、经典通分:当分数的分母很容易化为一致时，将其化为相同数三、分子通分:当分数的分子很容易化为一致时，将其化为相同数四、分母/分子有理化:当分数中含有根式时，对其进行分母(或分子)有理化第三节反约分型数列基本知识点:1.“反约分”是指同时扩大数列当中某些分数的分子与分母(分数大小未变)，从而使得分数的分子数列与分母数列形成简单数列;2.“反约分”数列是分数数列中最具技巧的一类，也是现在分数数列出题的主要方向。第四节题型拓展一、带分数数列（整数部分、分子、分母部分分别具有规律）二、小数数列(整数部分、小数部分分别具有一定规律)三、根式数列(底数部分、根指数部分分别具有一定规律)根式数列中有个别还是根式形式的，要与其他根式形式统一，如都化为带根指数的根式或不带根指数形式的根式，再看根指数与底数之间或各自有何规律第五章幂次数列基本类型:(1)基础幂次数列，平方数列、立方数列、变幂次数列等;(2)幂次修正数列，平方修正数列、立方修正数列、变幂次修正数列等。备考重点方向:(1)熟悉所有常用幂次数、幂次变换法则;(2)熟悉幂次数附近相关数的数字特征。第一节基础幂次数列负数的平方，因此比一般平方数列隐蔽得多，应特别留意。第二节幂次修正数列一、修正项为常数情形二、修正项正负交错的情形三、修正项呈等差数列的情形第三节题型拓展一、修正项复杂化修正项数字扩大化。修正项数字等差正负化。修正项数列化。二、参照数列复杂化拓展参照数列底数多样化（质数列、合数列及其他数列）。参照数列指数多样化（周期数列等）。第六章递推数列第一节递推数列综合介绍基本定义:所谓递推数列，是指数列中从某一项开始，其每项都是通过它前面的项经过一定的运算得到。基本类型:差、商、和、方、积、倍六种，包括基本型与修正型。一、递推差数列递推差数列:前两项之差等于第三项。[特征〕整体递减，相部三项构成明显差关系。递推差数列:第一项减去第二项，再减去第三项，等于第四项。[特征〕整体递减，相部四项构成明显差关系。另外:当数列较长时，优先考虑“三项递推”。二、递推商数列递推商数列:前两项之商等于第三项。[特征〕整体递减，相邻三项构成明显商关系。递推商修正数列:第一项除以第二项，再减1，等于第三项。三、递推和数列递推和数列:前两项之和等于第三项。[特征〕整体递增，增长平缓，相邻三项构成明显和关系。递推和数列:前三项之和等于第四项。[特征]整体递增，增长平缓，相部四项构成明显和关系。另外:当数列较长时，优先考虑“三项递推”。递推和修正数列:第一项加上第二项，再减1，等于第三项。四、递推方数列递推方数列:第一项的平方等于第二项。〔特征〕整体递增，增长疾速，相邻两项构成明显平方关系。递推平方数列不可能很长。注意使用“尾数法”判定选项。五、递推积数列递推积数列:前两项之积等于第三项。[特征〕整体递增，增长较快，相邻三项构成明显积关系。递推积修正数列:第一项乘以第二项，再加1，等于第三项。递推积修正数列:第一项加上2，再乘以第二项，等于第三项。递推积修正数列:第二项加上1，再乘以第一项，等于第三项。递推增倍数列:第一项乘以2，等于第二项。递推减倍数列:第一项乘以1/3，等于第二项。递推增倍修正数列:第一项乘以2，再加1，等于第二项。递推减倍修正数列:第一项乘以1/3，再减2，等于第二项。递推减倍修正数列:第一项减去1，再乘以1/3，等于第二项。第二节整体趋势法整体趋势法解“递推数列”基本思路:(1)看趋势，根据数列当中数字的整体变化趋势初步判断递推的具体形式;(2)作试探，根据初步判断的趋势作合理的试探，并分析其误差，即“修正项”。前两项之差，再加1，等于第三项。前两项之商，再加1，等于第三项。第一项除以4，再减1，等于第二项。第一项加上第二项，再减2，等于第三项。第一项的平方，加上1，等于第二项。前两项之积，再加1,等于第三项。前两项相乘，再加3，等于第三项。第一项乘以4，再加3，等于第二项。二、“数列型修正项”递推数列在本节前面“基础递推数列”部分，我们只需要根据数列的“整体变化趋势”即可大概掌握解题思路，即使存在“修正项”，也都是常数数列(要么都是加1，要么都是减2、减3之类)。下面介绍的“数列型修正项”递推数列，指的是修正项不再是常数数列，而是一些其他的简单数列(比如等差数列、等比数列等)的递推数列形式。整体递增，数字之间无明显和、方、积关系，但有较明显的3倍关系。用每个数字的3倍与后面的数字比较时，得到修正项分别是十1,+0,-1,-2,-3,-4(等差数列)，得到结果为:63X3-4=185。整体递增，数字之间无明显和、方、积关系，但有较明显的2倍关系。用每个数字的2倍与后面的数字比较时，得到修正项分别是+3,+5、十7,+9(等差数列)，得到结果为:77X2+9=1630整体递减，相部三个数字没有明显的差、商关系，但有较明显的2倍关系。用每个数字除以2与后面的数字比较时，得到修正项分别是+1,+2,+4,+8(等比数列)，得到结果为:20=2+8=180第三节递推联系法递推联系法解“递推数列”。(1)定义:通过研究递推数列当中相邻两个或者三个数字之间的“递推联系”，从而找到解题关键的方法。(2)作用:“递推联系法”与“整体趋势法”是解答递推数列的两种独立的方法。相对而言，前者求解更为迅速，后者解题更加填密而不易遗漏。对于较难、较新的题型而言，“递推联系法”更容易帮助考生找到答案，但要求考生有较高的“数字敏感”度(即多数字递推联系)。考生可以在实践中熟练掌握两种方法，在具体练习当中对照使用合适的方法。(3)分类:①两项递推(研究三数字递推联系);②一项递推(研究两个数字递推联系)。一、两项递推联系法使用法则:圈定数列当中三个相邻数字(要求数字简单而不失代表性)，研究这三个数字当中前两个数字运算得到第三个数字的所有简单递推形式，将得到的递推形式代人到其他数字之间进行验算，全部吻合者为最终规律。研究“15,26,43”三数字递推联系，易知“15+26+2=43,验算可知全部成立。研究“5,7,17”三数字递推联系，易知“5X2+7=17,验算可知全部成立。研究“40,56,68”三数字递推联系，易知“40+56-2=68,验算可知全部成立。研究“3,12,45”三数字递推联系，易知“(3+12)x3=45,验算可知全部成立。研究“6,12,27”三数字递推联系，易知“(6+12)X1.5=27，验算可知全部成立。研究“22,8,28”三数字递推联系，易知“(22-8)X2=28,验算可知，除正负之外，全部成立。因此，