1.1 第2课时 特殊角的三角函数值

新课预习1．请将30°，45°，60°角的三角函数值填入下表：α30°45°60°sinα122232cosα322212tanα33132.sin230°＋cos230°＝1，sin260°＋cos260°＝___1，sin245°＋cos245°＝1，sin2α＋cos2α＝1．思考直角三角形有哪些性质？我们应如何利用直角三角形的性质求特殊角的三角函数值？1.特殊角的三角函数值课堂讲解【典例1】若锐角A满足cosA＝12，∠B＝90°－∠A，则sinB＝．【点拨】30°，45°，60°角的三角函数值要熟记，另外，已知特殊角的三角函数值，要会逆用，求出特殊角．【解析】∵cosA＝12，∠A为锐角，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°，∴sinB＝12.【答案】12【典例2】(庆阳中考)在△ABC中，∠A，∠B为锐角，cosA－32＋(1－tanB)2＝0，则∠C等于()A．45°B．60°C．75°D．105°【点拨】根据非负性可得方程cosA－32＝0，1－tanB＝0.求出∠A，∠B的度数即可．【解析】根据题意，得cosA＝32，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－30°－45°＝105°.【答案】D【典例3】计算：tan60°·tan30°＋cos245°＋cos260°.【点拨】将30°，45°，60°角的三角函数值分别代入计算即可．【解析】原式＝3×33＋222＋122＝74.2．特殊角的三角函数值的应用【典例4】如图1.1­4，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车可沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走了多少千米(精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?图1.1­4【点拨】本题实际是求AC＋BC－AB的长，关键是先构造直角三角形求出AB的长，结合所给的锐角、已知边，看AB边可用什么含三角函数的式子表示，再用特殊三角函数值代入计算即可．【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10km，∴CD＝12AC＝5km，AD＝AC·cos30°＝53km.在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝5km，BC＝CDsin45°＝52km.∴AB＝AD＋BD＝(53＋5)km.∴AC＋BC－AB＝10＋52－(53＋5)＝5＋52－53≈3.4km.答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走了约3.4km.3．构造特殊直角三角形求三角函数【点拨】利用转化思想构造特殊的三角形解题.15°角是30°角的一半，因此考虑构造含30°角的直角三角形.【典例5】如图1.1­5，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝1.你能利用此图求出tan15°的值吗？图1.1-5【解析】如解图，作∠ABD＝15°，BD与AC交于点D，则∠BDC＝15°＋15°＝30°.∵BC＝1，∴AD＝BD＝2，∴CD＝BD2－BC2＝22－12＝3.∴AC＝AD＋CD＝2＋3，∴tan15°＝BCAC＝12＋3＝2－3.(典例5解)随堂练习1．点A(cos60°，－tan30°)关于原点对称的点B的坐标是()A.－12，33B.－32，33C.－12，－33D.－12，3【解】∵点A(cos60°，－tan30°)，点A，B关于原点对称，∴点B(－cos60°，tan30°)，∴点B－12，33.【答案】A2．计算：cos30°＝，tan60°·sin45°＝，|tan60°－2|＝，（sin30°－1）2＝．【解】cos30°＝32，tan60°·sin45°＝3×22＝62，|tan60°－2|＝|3－2|＝2－3，（sin30°－1）2＝12－12＝12.【答案】32622－3123．计算：(1)(南充中考)8－2sin45°＝．(2)(金华中考)12＋2－1－4cos30°＋－12＝．【解】(1)原式＝22－2×22＝2.(2)原式＝23＋12－4×32＋12＝23＋12－23＋12＝1.【答案】(1)2(2)14．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC＝2m，则相邻两棵树的斜坡距离AB约为m(精确到0.1m，3≈1.73)．(第4题)【解】∵cos30°＝ACAB，AC＝2，∴32＝2AB，∴AB＝433≈2.3(m)．【答案】2.35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝22.5°，BC＝1，求tan22.5°的值．【解】如解图，作∠ABD＝22.5°，则∠BDC＝45°.∴CD＝BC＝1，∴AC＝CD＋AD＝CD＋BD＝1＋2，∴tan22.5°＝tanA＝BCAC＝11＋2＝2－1.(第5题解)(第5题)要点小结1．记忆特殊三角函数值时，可以和两个特殊的直角三角形相结合(如图1.1­6)．图1.1­62．求非特殊角的三角函数值时，可以利用转化思想构造含特殊角的三角形求解．3．注意三角函数的内在关系：①sinα＝cos(90°－α)；②cosα＝sin(90°－α)；③sin2α＋cos2α＝1等．按时完成B本课后训练相关内容点此进入