2012届高考复习方案数学理科(北师版)第3单元第22讲-正弦定理和余弦定理

第22讲│正弦定理和余弦定理第22讲正弦定理和余弦定理知识梳理1．关于正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________________．(2)正弦定理的变形(设外接圆半径为R)①a＝________，b＝________，c＝________，第22讲│知识梳理2RsinAasinA＝bsinB＝csinC2RsinB2RsinC②sinA＝______，sinB＝______，sinC＝______，a∶b∶c＝__________________.(3)正弦定理解决的斜三角形的类型①已知三角形的两角及一边，求其他的____________．②已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的__________________．第22讲│知识梳理a2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinC两边及一角两角及一边第22讲│知识梳理一解无解一解一解无解第22讲│知识梳理2.关于余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于_____________________________________________________________________，即a2＝__________________，b2＝__________________，c2＝__________________________.(2)余弦定理的变形cosA＝________________，cosB＝________________，cosC＝________________.(3)余弦定理解决的斜三角形的类型①已知三角形的三边，求______；②已知两边及其夹角，求____________________．其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab三角第三边及其余两角要点探究►探究点1正弦定理解三角形第22讲│要点探究1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a、b、c，若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝22，则c＝__________.(2)[2010·山东卷]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则A的大小为________．第22讲│要点探究[思路](1)已知三角形的两个内角，实际上就是已知了三角形的三个内角，相当于在△ABC中已知一边和另外两边的对角，求解边长，使用正弦定理；(2)根据已知可以求出角B，进而在△ABC中已知两边及一边的对角，可以使用正弦定理求解另一边的对角．[答案](1)2(2)π6第22讲│要点探究[解析](1)根据三角形内角和定理∠C＝30°，根据正弦定理csinC＝bsinB，即c＝bsinCsinB＝22×1222＝2.(2)由sinB＋cosB＝2得1＋2sinBcosB＝2，即sin2B＝1，因为0Bπ，所以角B＝π4.又因为a＝2，b＝2，所以在△ABC中，由正弦定理得2sinA＝2sinπ4，解得sinA＝12，又ab，所以AB＝π4，所以A＝π6.第22讲│要点探究如图22－1所示，已知扇形OAB，O为顶点，圆心角∠AOB＝60°，半径为2cm，在弧AB上有一动点P，由P引平行OB的直线和OA相交于C，∠AOP＝β，求△POC的面积的最大值以及此时β的值．图22－1[思路]所求三角形的面积等于OC·OPsinβ，在△OCP中根据正弦定理建立OC的长度关于角β的关系式，然后进行三角恒等变换求解．第22讲│要点探究[解答]因为PC∥OB，所以∠ACP＝∠AOB＝60°，所以∠PCO＝120°，∠OPC＝60°－β.在△POC中，由正弦定理得OPsin120°＝OC－β，∴OC＝OP－βsin120°＝－βsin120°.第22讲│要点探究∴S△POC＝12·OC·OPsinβ＝12×－βsin120°×2sinβ＝2sinβ－βsin120°＝3sinβcosβ－sin2βsin120°＝32sin2β－1－cos2β2sin120°＝β－－12sin120°＝β－－13.故当cos(2β－60°)＝1，即当2β＝60°，β＝30°时，△POC的面积有最大值33cm2.►探究点2余弦定理解三角形第22讲│要点探究[思路]已知的是三角形的两边及一边的对角，可以使用正弦定理求出角B，再根据三角形内角和定理求解角A，再根据正弦定理或者余弦定理求出边，也可以直接根据余弦定理列出关于边的方程，通过解方程求出边a.2[2010·北京卷]在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.[答案]1第22讲│要点探究[解析]方法1：根据正弦定理1sinB＝3sin2π3，得sinB＝12，由于b＜c，故该三角形只有一解，即B＝π6，根据三角形内角和定理A＝π6.根据正弦定理asinπ6＝bsinπ6，得a＝1，或者根据余弦定理a＝b2＋c2－2bccosA＝1＋3－2×1×3×32＝1.第22讲│要点探究方法2：利用余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC，代入相应的数值有3＝a2＋1＋a，即a2＋a－2＝0，解得a＝1(负值舍去)．第22讲│要点探究如图22－2所示，有两条相交成60°角的直路xx′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy上，开始时甲离O点3km，乙离O点1km，后来甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向同时用4km/h的速度步行．(1)起初两人的距离是多少？(2)t小时后两人的距离是多少？(3)什么时候两人的距离最短？图22－2第22讲│要点探究[思路](1)根据余弦定理；(2)甲在线段Ox上和甲在射线Ox′上分别使用余弦定理；(3)根据建立的函数关系求函数在t为何值时函数有最小值．第22讲│要点探究[解答]设甲、乙两人起初所在位置分别为A、B，连接AB.(1)在△ABO中，由余弦定理，得AB＝1＋9－2×1×3×cos60°＝7(km)．第22讲│要点探究(2)设t小时后，甲由A运动到C，乙由B运动到D，连接CD，当0＜t≤0.75时，CD＝－4t2＋＋4t2－－4t＋4t＝48t2－24t＋7.当t＞0.75时，CD＝t－2＋＋4t2－t－＋4t120°＝48t2－24t＋7.所以t小时后，甲、乙两人的距离为48t2－24t＋7km.第22讲│要点探究(3)∵CD＝48t2－24t＋7＝48t－142＋4(t＞0)，∴当t＝14时，甲、乙两人的距离最短，最短距离为2km.►探究点3正弦定理和余弦定理解三角形3(1)[2010·湖北卷]在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－223B.223C．－63D.63(2)[2010·天津卷]在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°第22讲│要点探究[思路](1)可以根据正弦定理求出sinB，再根据同角三角函数关系求cosB，也可以根据余弦定理求出边c，再根据余弦定理求cosB；(2)根据正弦定理，sinC＝23sinB就是c＝23b，再由a2－b2＝3bc，即可得a＝7b，这相当于已知三角形三边的比例关系，根据余弦定理可以求出其任意内角的余弦值．第22讲│要点探究[答案](1)D(2)A[解析](1)本题涉及同角三角函数的基本关系式及正、余弦定理．这两个知识点在高考中为B级要求．本题思路是：由正弦定理15sin60°＝10sinB，得sinB＝33.又ba，即BA.则cosB＝1－sin2B＝63，故本题选D.本题也可以由余弦定理152＝102＋c2－2×10×c×cos60°，即c2－10c－125＝0，得c＝5＋56.再由余弦定理，得cosB＝152＋＋562－100＋56＝63.通过比较用正弦定理解决本题比较简单．第22讲│要点探究(2)由sinC＝23sinB结合正弦定理得c＝23b，所以由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－b2＋3bc2bc＝c2－3bc2bc＝3b2－3b·23b2b·23b＝32，所以∠A＝30°，选A.第22讲│要点探究第22讲│要点探究(1)[2010·烟台模拟]在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边，如果sin2(B＋C)sin2B＋sin2C，则角A的取值范围是_____________________________．(2)[2010·北京西城三检]在△ABC中，角C为钝角，ABBC＝32，sinA＝13，则C＝________，sinB＝________.第22讲│要点探究[思路](1)根据正弦定理把已知转化为边的关系，根据余弦定理判断角A的范围，再根据最大边对的角大于π3即可解决．(2)已知条件即ca＝32，sinA＝13，根据正弦定理把边的比值转化为其对角的正弦的比值后即可求出角C的正弦，从而求出角C；根据余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab和ca＝32，即可通过方程的方法求出ba的值，再根据正弦定理sinB＝bsinAa(也可以根据三角形内角和定理和已知的sinA，sinC，通过sinB＝sin(A＋C)求解)．[答案](1)π3，π2(2)150°22－36第22讲│要点探究[解析](1)由题意得：sin2Asin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2b2＋c2，即b2＋c2－a20.则cosA＝b2＋c2－a22bc0，∵0Aπ，∴0Aπ2.又a为最大边，∴Aπ3.因此，A的取值范围是π3，π2.第22讲│要点探究(2)由正弦定理知：BCsinA＝ABsinC，故sinC＝ABsinABC＝12，因为角C为钝角，所以角C＝150°.由余弦定理知cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC，化简得ACBC＝22－32，所以sinB＝ACsinABC＝22－36.►探究点4三角形形状的判断4[2010·辽宁卷]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．第22讲│要点探究第22讲│要点探究[思略](1)根据已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC的特点，可以使用正弦定理实现角的三角函数向边的转化，也可以实现边的关系向角的三角函数的转化，如果用这个转化则就是sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，这个关系和a2＝b2＋c2＋bc是等价的，很显然根据余弦定理即可求出A的余弦，进而求出A的大小；(2)在角A已知的情况下，根据三角形内角和定理，方程sinB＋sinC＝1可以化为只含有一个角的三角函数的方程，通过这个方程求出这个角即可知道三角形的三个内角，进而判断出三角形的形状．第22讲│要点探究[解答](1)由已知，根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又0Aπ，∴A＝2π3.第22讲│要点探究(2)由(1)得sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝32cosB＋12sinB＝sin(60°＋B)，又sinB＋sinC＝1，∴B＝C＝π6，从而△ABC为等腰三角形．第22讲│要点探究1在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．[思路]根据方程2cos2B－8cosB＋5＝0即可求出B的余弦值，进而确定B的大小，在B已知的情况下结合a＋c＝2b和余弦定理，即可确定边a，c的关系，根据两边和其夹角即可确定这个三角形的形状．第22讲│要点探究[解答]由2cos