北航有限元第4讲--等参元和高斯积分

北京航空航天大学第4讲等参单元和数值积分金朝海[e-mail]北京航空航天大学实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单元的表达式比较困难（在整体坐标系下构造位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁）。事实上，形状不规整的单元和形状规整的单元（矩形单元、正六面体单元）可以建立一种映射关系，使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标系中的局部坐标一一对应。等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。北京航空航天大学4.1等参单元简单杆系问题分析的新途径等参单元定义的给出平面问题四边形等参单元计算公式三维问题六面体等参单元计算公式采用等参单元的优点北京航空航天大学简单杆系问题分析之新途径途经1：在整体直角坐标系下进行单元分析（参看第3讲内容）途径2：建立局部自然坐标系进行单元分析F北京航空航天大学直角坐标系(x,y,z)极坐标(r,)，2维球坐标系(r,θ,)柱坐标系(,,z)自然坐标系关于坐标系北京航空航天大学自然坐标系:选轨迹上任一点O为原点用轨迹长度S描写质点位置nOmS质点沿切线前进方向的单位矢量为切向单位矢量(tangentialunitvector)质点与切向正交且指向轨迹曲线凹侧的单位矢量为法向单位矢量(normalunitvector)北京航空航天大学当点的运动轨迹已知时，通常采用自然法确定点的运动规律、速度、加速度。在自然坐标系中表示质点速度，是非常简单的，因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量，而没有法向分量。北京航空航天大学新途径：建立局部自然坐标系进行单元分析()xx坐标插值函数：01()xaa0101(1)(1)ijxaaxxaax局部自然坐标和整体直角坐标可以建立一种映射关系节点条件：01()/2()/2ijjiaxxaxxxixj北京航空航天大学()[(1)/2(1)/2]ijxxx()()exNx()[(1)/2(1)/2]N()()/2()/2ijjixxxxx单元内坐标由节点坐标插值表示局部坐标到物理坐标的变换北京航空航天大学(())()/2()/2[(1)/2(1)/2]iijjijuuxuuuuu(())()euxNq()[(1)/2(1)/2]N单元位移函数：01(())uxaa0101((1))((1))ijuxaauuxaau节点条件：01()/2()/2ijjiauuauu北京航空航天大学观察：单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示。形状函数是用自然坐标给出的，表达式很简单()()exNx(())()euxNq()[(1)/2(1)/2]N()[(1)/2(1)/2]N北京航空航天大学(())(())()(())()eeeduxddxdxdxdxNqNqBq(())(())()()eeeexExEBqSq11()[]eellB()[]eeeeEEllS北京航空航天大学21T11111111(())(())(())(())221[()]()(/2)21[(/2)()()]21211(/2)()()11eTTTTxeeexeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeUxxdVExxAdxUEAldUlEAdUEAlEAdlσεBqBqqBBqqKqKBB单元应变能：单元刚度矩阵北京航空航天大学单元外力功TeeeWqP()()eepeTTxxSbdVpdAPNN等效节点力()[(1)/2(1)/2]N(1)11(2)()()(1)11000()()(1)00011eeeppepeeeppepTTTxxxSSxSTTTxxxSSxSbdVpdApdARpdARbdVpdApdApdAFFPNNNPNNN对于本例自然坐标系下的分析结果与整体直角坐标系下的分析结果完全相同。忽略单元间作用力北京航空航天大学等参单元定义的给出等参单元：用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示出单元的几何坐标与位移的单元，称为等参单元。如果坐标变换节点数多于位移插值的节点数，称为超参变换。反之，如果坐标变换节点数少于位移插值的节点数，则称为亚参变换。等参单元的插值函数用自然坐标给出。北京航空航天大学平面问题四边形等参单元的推导整体直角坐标单元局部自然坐标(,)Pxy(,)P（一般四边形）（规格化的矩形）(,)Pxy(,)P映射11(,)xy44(,)xy33(,)xy22(,)xy坐标映射北京航空航天大学(,)(,)xxyy12341234xy(,)Pxy(,)P映射(,)(,)iiiiiixxyy节点条件：构造插值函数112131411212232422312333433412434444xxxx11234212343123441234xxxx11332244(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)北京航空航天大学11223344111111111111141111xxxx11223344111111111111141111yyyy123411223344123411223344xNxNxNxNxyNyNyNyNy132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN北京航空航天大学112212343123434400000000xyxyNNNNxxNNNNyyxy(,)(,)exNx北京航空航天大学12341234((,),(,))(,)((,),(,))(,)uxyuvxyv11(,)xy44(,)xy33(,)xy22(,)xy(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)(,)iiiiiiuuvv节点条件：11332244(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)(,)(1,1)位移函数北京航空航天大学112131411212232422312333433412434444uuuu11234212343123441234uuuu11223344111111111111141111uuuu11223344111111111111141111vvvv同理可得：北京航空航天大学123411223344123411223344((,),(,))((,),(,))uxyNuNuNuNuvxyNvNvNvNv132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN11221234312343440000((,),(,))0000((,),(,))uvuvNNNNuxyuNNNNvxyvuv((,),(,))(,)exyuNq北京航空航天大学单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形状函数通过插值的方式表示。形状函数用自然坐标给出。(,)(,)exNx((,),(,))(,)(,)exyuuNq132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN北京航空航天大学1234123400000(,)00000xNNNNNNNNyyxB((,),(,))(,)(,)(,)eexyεuNqBq132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNNiiNxNy?北京航空航天大学1iiiiiiiiiiiiiiiNNNxyxyNNNxyxyNxyNNxxNNNxyyyNNxNyJJ*1iNJJJ偏导数变换xyxyJ雅可比矩阵：北京航空航天大学11111111((,),(,))((,),(,))(,)(,)(,)TeTeSxyxytdxdytddddKBDBBDBJFJ111111TTeepTTeeepbSebepdVdAtddtCdPNbNpPPPNbJPNp1/222xyC在常数的面上北京航空航天大学四边形等参单元形状要求0J不能有重节点不能出现内角大于180o的情况内角最好介于30o-150o之间（有限变形的情况）避免出现北京航空航天大学三维问题六面体等参单元的计算公式(,)(,)exNx(,)(,)(,)exyuuNq83北京航空航天大学xyzxyzxyzJ(,)(,)(,)exyuuNq(,,)(,,)BN北京航空航天大学111111TTeedVdddKBDBBDBJ1111TTepepSdACdd