高考数学一轮复习-第七章-立体几何-.-空间点、直线、平面的位置关系练习-理-课件

1第七章立体几何7.3空间点、直线、平面的位置关系练习理[A组·基础达标练]1．[2015·广东高考]若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5答案B解析首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.2．[2015·福建高考]若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.3．[2016·威海模拟]设A、B、C、D是空间中四个不同的点，下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC答案C解析若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC，故C不正确．4．[2015·海口模拟]已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是()A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面答案D解析由正方体的性质知，O也是A1C的中点，因此A1、M、O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．由BB1与A1C异面知D错误．故选D.5．给出下列命题，其中正确命题的个数是()①如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内；②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A、B、C；③若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．A．1B．2C．3D．4答案B2解析显然①③正确．若两平面有三个不共线的公共点，则这两平面重合，故②不正确．三条直线两两相交于同一点时，三条直线不一定共面，故④不正确；两组对边相等的四边形可能是空间四边形，⑤不正确．故选B.6．[2016·武汉模拟]如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A．12对B．24对C．36对D．48对答案B解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，共有异面直线12×42＝24(对)．故选B.7.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．答案233解析折成的正四面体，如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，PK.则GK∥DH，故∠PGK(或其补角)即为所求的异面直线所成的角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG＝3，GK＝32，PK＝12＋322＝72，故cos∠PGK＝PG2＋GK2－PK22·PG·GK＝32＋322－7222×3×32＝23.即异面直线PG与DH所成的角的余弦值为23.8．[2015·云南师大附中模拟]如图是某个正方体的展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，对于l1与l2的下面四个结论中，正确的是________．①互相平行；②异面垂直；③异面且夹角为π3；④相交且夹角为π3.4答案④解析将展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，故l1与l2相交，连接AD，则△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为π3.9．[2015·昆明模拟]设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．答案0个解析∵a⊥b，b⊥c，∴a与c可以相交、平行、异面，故①错．∵a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故③错．同理④错，故真命题的个数为0.10．[2016·衡水模拟]A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线5EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即∠FEG为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°.即异面直线EF与BD所成的角为45°.[B组·能力提升练]1．[2015·三亚模拟]如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为()A.36B.66C．－36D．－66答案A解析延长CD至H，使DH＝1，连接HG、HF，则HF∥AD，HF＝DA＝8，GF＝6，HG＝10，∴cos∠HFG＝8＋6－102×6×8＝36，故选A.2．[2013·安徽高考]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．6①当0CQ12时，S为四边形；②当CQ＝12时，S为等腰梯形；③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13；④当34CQ1时，S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为62.答案①②③⑤解析利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解．①当0CQ12时，如图(1)．在平面AA1D1D内，作AE∥PQ，显然E在棱DD1上，连接EQ，则S是四边形APQE.②当CQ＝12时，如图(2)．显然PQ∥BC1∥AD1，连接D1Q，则S是等腰梯形．③当CQ＝34时，如图(3)．作BF∥PQ交CC1的延长线于点F，则C1F＝12.作AE∥BF，交DD1的延长线于点E，D1E＝12，AE∥PQ，连接EQ交C1D1于点R，由于Rt△RC1Q∽Rt△RD1E，∴C1Q∶D1E＝C1R∶RD1＝1∶2，∴C1R＝13.7④当34CQ1时，如图(3)，连接RM(点M为AE与A1D1交点)，显然S为五边形APQRM.⑤当CQ＝1时，如图(4)．同③可作AE∥PQ交DD1的延长线于点E，交A1D1于点M，显然点M为A1D1的中点，所以S为菱形APQM，其面积为12MP×AQ＝12×2×3＝62.3.[2015·四川高考]如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．答案25解析取BF的中点N，连接MN，EN，则EN∥AF，所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角．在△EMN中，当点M与点P重合时，EM⊥AF，所以当点M逐渐趋近于点Q时，直线EN与EM的夹角越来越小，此时cosθ越来越大．故当点M与点Q重合时，cosθ取最大值．设正方形的边长为4，连接EQ，NQ，在△EQN中，由余弦定理，得cos∠QEN8＝EQ2＋EN2－QN22EQ·EN＝20＋5－332×20×5＝－25，所以cosθ的最大值为25.4.如图所示，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF、GH、BD交于一点．证明连接GE，FH.因为E、G分别为BC、AB的中点，所以GE∥AC，且GE＝12AC，又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，且FH＝25AC.所以FH∥GE，且GE≠FH.所以E、F、H、G四点共面，且四边形EFHG是一个梯形．设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两个平面的交线上．因为这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．9这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF、GH、BD交于一点．5．[2015·广东高考]如右图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角P－AD－C的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．解(1)证明：由PD＝PC＝4知，△PDC是等腰三角形，而E是底边CD的中点，故PE⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，故PE⊥平面ABCD，又FG⊂平面ABCD，故PE⊥FG.(2)∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PDC，而PD⊂平面PDC，故AD⊥PD，故∠PDC为二面角P－AD－C的平面角．在Rt△PDE中，PE＝PD2－DE2＝7，∴tan∠PDE＝PEDE＝73，故二面角P－AD－C的正切值是73.(3)连接AC.由AF＝2FB，CG＝2GB知，F，G分别是AB，BC且靠近点B的三等分点，从而FG∥AC，∴∠PAC为直线PA与直线FG所成的角．在Rt△ADP中，AP＝PD2＋AD2＝42＋32＝5.在Rt△ADC中，AC＝AD2＋CD2＝32＋62＝35.在△PAC中，由余弦定理知，cos∠PAC＝PA2＋AC2－PC22PA·AC＝52＋52－422×5×35＝9525，故直线PA与直线FG所成角的余弦值是9525.