参数方程知识讲解及典型例题

..参数方程一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即)()(tfytfx，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：特殊：圆心是（0,0），半径为r的圆：sincosryrx一般：圆心在（x0，y0），半径等于r的圆：sincos00ryyrxx（为参数，的几何意义为圆心角），Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1）x=2+3cos（2）x=sin（3）x=t+t1y=3siny=cosy=t2+21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：sincosbyax（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：sincos00byyaxx..Eg：求椭圆203622yx=1上的点到M（2,0）的最小值。3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线：tansecbyax（为参数，代表离心角），中心在（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线：tansec00byyaxx4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：ptyptx222（t为参数，p＞0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点P0（x0，y0），倾角为的直线，P是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点P到定点P0的有向距离，在P0两侧t的符号相反，直线的参数方程sincos00tyytxx（t为参数，t的几何意义为有向距离）说明：①t的符号相对于点P0，正负在P0点两侧②｜P0P｜=｜t｜直线参数方程的变式：btyyatxx00，但此时t的几何意义不是有向距离，只有..当t前面系数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得)()(2222022220tbababyytbabaaxx，让tba22作为t，则此时t的几何意义是有向距离。Eg：求直线x=-1+3ty=2-4t，求其倾斜角...极坐标与参数方程练习题[基础训练A组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23xttyt为参数，则直线的斜率为（）A．23B．23C．32D．322．下列在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是（）A．1(,2)2B．31(,)42C．(2,3)D．(1,3)3．将参数方程222sin()sinxy为参数化为普通方程为（）A．2yxB．2yxC．2(23)yxxD．2(01)yxy4．化极坐标方程2cos0为直角坐标方程为（）A．201yy2x或B．1xC．201y2x或xD．1y5．点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（）A．(2,)3B．(2,)3C．2(2,)3D．(2,2),()3kkZ6．极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆二、填空题1．直线34()45xttyt为参数的斜率为______________________。2．参数方程()2()ttttxeetyee为参数的普通方程为__________________。3．已知直线113:()24xtltyt为参数与直线2:245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB_______________。..4．直线122()112xttyt为参数被圆224xy截得的弦长为______________。三、解答题1．已知点(,)Pxy是圆222xyy上的动点，（1）求2xy的取值范围；（2）若0xya恒成立，求实数a的取值范围。2．求直线11:()53xtltyt为参数和直线2:230lxy的交点P的坐标，及点P与(1,5)Q的距离。3．在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120xy的距离的最小值。[综合训练B组]..一、选择题1．直线l的参数方程为()xattybt为参数，l上的点1P对应的参数是1t，则点1P与(,)Pab之间的距离是（）A．1tB．12tC．12tD．122t2．参数方程为1()2xttty为参数表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线3．直线112()3332xttyt为参数和圆2216xy交于,AB两点，则AB的中点坐标为（）A．(3,3)B．(3,3)C．(3,3)D．(3,3)4．圆5cos53sin的圆心坐标是（）A．4(5,)3B．(5,)3C．(5,)3D．5(5,)35．与参数方程为()21xttyt为参数等价的普通方程为（）A．214y2xB．21(01)4yx2xC．21(02)4yy2xD．21(01,02)4yxy2x6．直线2()1xttyt为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为（）A．98B．1404C．82D．9343二、填空题1．曲线的参数方程是211()1xttyt为参数,t0，则它的普通方程为__________________。..2．直线3()14xattyt为参数过定点_____________。3．点P(x,y)是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值为___________。4．曲线的极坐标方程为1tancos，则曲线的直角坐标方程为________________。5．设()ytxt为参数则圆2240xyy的参数方程为__________________________。三、解答题1．点P在椭圆221169xy上，求点P到直线3424xy的最大距离和最小距离。2．已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积。..极坐标与参数方程练习题答案[基础训练A组]一、选择题1．D2．B3．C4．C5．C6．C二、填空题1．542．221,(2)416xyx3．524．14三、解答题1．解：（1）51251xy；（2）12a2．343．554[综合训练B组]一、选择题1．C2．D3．D4．A5．D6．C二、填空题1．2(2)(1)(1)xxyxx2．(3,1)3．224．2xy5．2224141txttyt22()40xtxtx，当0x时，0y；当0x时，241txt；而ytx，即2241tyt，得2224141txttyt三、解答题1．当cos()14时，max12(22)5d；当cos()14时，min12(22)5d。2．解：（1）312112xtyt（2）2