《几何画板》教程

1前言从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境变得越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》，以其学习入门容易和操作简单的优点，以及其强大的图形和图像功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？一、《几何画板》在高中代数教学中的应用“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分。同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻画，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”函数的两种表达方式——解析式和图象之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端。而应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事半功倍的效果。二、《几何画板》在立体几何教学中的应用立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质，它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。三、《几何画板》在平面解析几何教学中的应用2平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。综上所述，使用《几何画板》进行数学学习与研究，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。这样，既能激发学生的情感，培养学生的兴趣，从而大大提高课堂效率，提高学生开展数学研究性学习的积极性。编者3目录第一课画板的世界------------------------------------------------------------------------------1第二课几何关系与常见图形------------------------------------------------------------------8第三课简单的数学实验（一）----------------------------------------------------------------17第四课简单的数学实验（二）----------------------------------------------------------------22第五课正多边形中的图案设计--------------------------------------------------------------31第六课错觉图-----------------------------------------------------------------------------------39第七课探索三角形全等的条件-------------------------------------------------------------47第八课神奇的π--------------------------------------------------------------------------------54第九课用参数控制系数-----------------------------------------------------------------------59第十课分段函数的图像----------------------------------------------------------------------61第十一课点的轨迹的构造-------------------------------------------------------------------63第十二课迭代与深度迭代-------------------------------------------------------------------68第十三课构造法作函数图像----------------------------------------------------------------71第十四课作函数图像的切线----------------------------------------------------------------74第十五课作函数的反函数图像-------------------------------------------------------------76第十六课椭圆的几何构造―定长椭圆的构造-------------------------------------------78第十七课图形图像的转动-------------------------------------------------------------------82第十八课圆锥曲线及其相关图形的构造-------------------------------------------------87第十九课椭圆的几何构造―圆锥曲线的平行弦----------------------------------------92第二十课椭圆的几何构造―圆锥曲线和直线的交点----------------------------------94第二十一课椭圆的几何构造―圆锥曲线的切线----------------------------------------99第二十二课截面的作法---------------------------------------------------------------------1031《几何画板》——带你进入奇妙的数学世界信息技术越来越多地影响我们的生活和学习，同学们也将从“学习计算机”转变为“计算机学习”，即利用计算机进行更有效地学习、探索和创新。《几何画板》是教育部基础教育司向全国中小学数学教师推荐的教学辅助软件，它具有能够准确地绘制几何图形、在运动中保持给定的几何关系、使用简便、易于学习及占用内存小、运行速度快等诸多优点。它操作简单、功能强大，教师可用其在最短的时间内制作出符合教学需要的课件，学生则可以利用《几何画板》进行研究性学习。《几何画板》是一个优秀的教育软件，非常适合用于探索符合数学关系的问题。《几何画板》形象直观、操作简单、功能强大，能真实地体现数学关系，是教师课堂教学和学生自主学习的好工具。通过本单元的学习，相信同学们一定能感受到探索和发现的乐趣，并让自己的信息技术应用提高到一个新的层次。本单元以《几何画板》4.04汉化版作为学习平台，在其他版本上有所不同。第一课画板的世界学习目标：1、认识几何画板；2、熟悉几何画板的基本操作。几何画板的界面与大多数软件类似，所不同的是，几何画板中对象之间通常都是通过某种数学关系相互联系的，在作图时，更要注意图形的数学性质。一、界面与其它常用软件一样，几何画板也有菜单栏、状态栏和工作区等，只是在窗口的左边有几何画板独有的作图工具，如图1-1所示。2图1-1二、基本操作（一）画点A、B操作步骤：1、单击选择【点工具】，在工作区不同位置单击两次，得两点；2、单击选择【文本工具】，在画好的两个点上单击，出现标签A、B，再次单击又会隐藏（是不是有点象一个开关？）。文本工具可以给对象（点、线、圆等）标注标签，默认情况下点的标签从大写字母A开始，其它对象也有默认初值。文本工具的另一个功能是在工作区中建立文本输入区（拖动鼠标画一个矩形，再松开鼠标），方便加入文字说明。3、用【选择工具】或【文本工具】双击标签，弹出如图1-2所示的属性对话框，可以修改标签。图1-23（二）画线段CD操作步骤：1、单击【直尺工具】，压住鼠标不放，选择【线段工具】（注意【直尺工具】中有三个选项）；2、在工作区单击确定一个端点，移动鼠标到另一位置单击，确定另一个端点；3、用【文本工具】单击端点，可以给端点取名，用【文本工具】单击线段，看一看出现了什么？以上所画的图如下：图1-3几何画板中给线段取名完全遵循数学规范，可以用端点的两个大写字母，也可以用一个小写字母（默认情况从j开始），当然也可以用上面介绍的方法改为其它的字母。【试一试】1、用【线段工具】在点A上单击，再移动到点B上单击，看看得到了什么？对点B、C，点A、D做同样的操作，最后会得到什么？2、直接用【线段工具】，画一个三角形，三个端点分别取名为M、N、P。3、试选择【射线工具】，画一条射线。4、试选择【直线工具】，画一条直线。（三）对象的选择、移位与释放1、对象的选择几何画板中使用【选择工具】选定对象：4图1-4图1-5图1-6图1-7选择工具未感应到对象时的状态。选择工具感应到对象时，鼠标成水平向左。单击对象，即可选定。如图选定了线段AB如需选择多个对象，连续单击即可。如图选定了线段AB、点A、点B。【小技巧】（1）同时选择多个对象时，不需要按住Shift键单击，这与其它软件操作不同。（2）选择多个对象的另一个方法是：选取【选择工具】，在工作区的空白处按左键不放，移动鼠标，拉出一个矩形虚线框，框住想选的对象。（3）需要说明的是：几何画板中规定，“选定线段”时不包括端点，请比较图1-6和图1-7的区别。【试一试】试选择你所画图形中的一个或多个对象。2、对象的移动用【选择工具】在选定的对象上按左键不放，拖动选定的对象到新的位置。如果是小距离的移动，可以选定后用键盘上的方向箭头移动。【小知识】如果你移动线段的端点，根据线段的数学定义，线段也会随之改变。对于其它对象的控制也类似。画出的图若不满意，可以用选择工具进行调整。移动某些选定的对象时，未