函数与导数专题研究

1专题一：函数与导数一．主要数学思想：分类讨论、形数结合、构建应用、函数与方程等。常见讨论：就导数的正负、就系数、就判别式、就根的大小、就对称轴的位置，…等等。构建应用：这里主要是指构建出一个函数，把问题转化为考察函数的性质（如最值）来解决，如参数范围中的变量分离法。多个变数时，可利用拼凑、同除等手段构建成某一整块的函数，如211222lnlnxxxxxx。函数与方程：方程解的个数、解的范围等，转化为函数图象的交点个数及范围，反之亦然。二．主要解题思路：定义域求导()fx导数的正负？()0fx列表判断单调区间参数范围最值不等式放缩公式求和比较证明交点(零点,方程的解)的个数极值三．主要题型再现：（一）选择、填空：1．若集合}20|{},40|{yyQxxP，则下列对应中，不是．．从P到Q的映射是()A．xy21B．xy31C．xy81D．xy322．对任意的函数)(),(xgxf，在公共定义域内，规定)}(),(min{)(*)(xgxfxgxf，若32)(,3)(xxgxxf，则)(*)(xgxf的最大值为。3．函数)(xf的定义域为Rx且1x,已知)1(xf为奇函数，当1x时，12)(2xxxf,那么当1x时)(xf的递减区间是()A.),45[B.)45,1(C.),47[D.)47,1(4．如果一个函数)(xf满足：（1）定义域为R；（2）任意Rxx21,，若021xx，则0)()(21xfxf；（3）任意Rx，若0t，则)()(xftxf，则)(xf可以是（）A．3xyB．xxyC．13xyD．2xy5．已知xf是R上的奇函数，当0x时，xxf)31()(，那么12f的值是（）A．33B．33C．3D．36．对于函数)0(,)(2acbxaxxf作代换)(tgx，则不改变函数)(xf的值域的代换是()2A．ttg2)(B．||)(ttgC．ttgsin)(D．ttg2log)(7．已知映射,:BAf其中RBA],1,(，对应法则xxyxf1)2(log:21对于实数Bk，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（）A．0kB．1kC．0kD．以上都不对8．函数)1(log)(xaxfax在]1,0[上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（）A．41B．21C．2D．49．设函数))((Rxxf为奇函数，)2()()2(,21)1(fxfxff，则)5(fA．0B．1C．25D．510．已知)(xf是周期为)0(TT的周期函数，那么)12(xf是（）A．周期为T的周期函数B．周期为T2的周期函数C．周期为2T的周期函数D．不是周期函数11.设函数)(xf是R上以3为周期的奇函数，若132)2(,1)1(aaff，则（）A．32aB．32a且1aC．32a且1aD．321a12．设函数xyalog在0,上单调递增，则af与1af的大小关系是A.afaf1B.afaf1C.afaf1D不能确定13若1)(23axxxf在)2,0(内内单调递减，则实数a的取值范围是（）A．3aB．3aC．3aD．30a14．已知函数)(xf满足：2)1(),()()(fbfafbaf，则)7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(2222ffffffffffff。15．若函数12log1yx是增函数，则x的取值范围是（）A．1xB．22xx或C．1xD．120xx或（二）综合大题：1．（分式函数型）已知函数22(),[1,)xxafxxx（Ⅰ）当12a时求函数()fx的最小值；（Ⅱ）若对任意[1,),()0xfx恒成立，试求实数a的取值范围。32．（三次函数型）（14分）设函数3211()(,,,0)32fxaxbxcxabcaR的图象在点,()xfx处的切线的斜率为()kx，且函数1()()2gxkxx为偶函数.若函数()kx满足下列条件：①(1)0k；②对一切实数x，不等式211()22kxx恒成立.（Ⅰ）求函数()kx的表达式；（Ⅱ）求证：1112(1)(2)()2nkkknn()nN.3．（对数函数+一次函数型）（本小题满分14分）设函数()ln1fxxpx=-+（Ⅰ）求函数()fx的极值点；（Ⅱ）当0p时，若对任意的0x，恒有0)(xf，求p的取值范围；（Ⅲ）证明：2222222ln2ln3ln21(,2)232(1)nnnnNnnn.44．（14分）已知2()ln(1)fxxax（0a）（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）证明：444111(1)(1)(1)23en…（*nN，2n≥，其中无理数2.71828e……）．5．设aR,函数()lnfxxax.(1)若2a，求曲线()yfx在1,2P处的切线方程；(2)若()fx无零点,求实数a的取值范围；(3)若()fx有两个相异零点12,xx,求证:212xxe.56．（对数+二次函数型）(本题满分14分)设函数xbxxfln)1()(2，其中b为常数。（1）当1b时，求函数)(xf的单调区间；（2）证明：对任意不小于3的正整数，不等式nnnn1ln)1ln(12都成立。7．（14分）已知函数xxxf2)(，xxgln)(，（Ⅰ）求证：)()(xgxf；（Ⅱ）若)()(xagxf恒成立，求实数a的值；（Ⅲ）设)()()(xmgxfxF（Rm）有两个极值点1x、2x（1x2x），求实数m的取值范围，并证明：162ln43)(2xF．68．（对数+分式型）（本题满分14分）已知函数2()ln,afxxaxR．（1）若函数()fx在[2,)上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数()fx在[1,]e上的最小值为3，求实数a的值．9．已知函数lnfxaxxx的图象在点ex（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．⑴求实数a的值；⑵若kZ，且1fxkx对任意1x恒成立，求k的最大值。710．（对数+对勾型）（本题14分）已知函数(afxxaxR),lngxx.(1)求函数Fxfxgx的单调区间；(2)若关于x的方程22gxfxex(e为自然对数的底数)只有一个实数根,求a的值.11．（乘积型）（本小题满分14分）已知函数()ln(,)fxaxxbabR，在点(,())efe处的切线方程是20xye（e为自然对数的底）。（1）求实数ab、的值及()fx的解析式；（2）若t是正数，设()()()hxfxftx，求()hx的最小值；（3）若关于x的不等式2ln(6)ln(6)ln(72)xxxxkk对一切(0,6)x恒成立，求实数k的取值范围.812．（三次函数+对数函数型）设命题p：函数31fxxax在区间[1,1]上单调递减；命题q：函数2ln(1)yxax的值域是R．如果命题qp或为真命题，qp且为假命题，求a的取值范围．13．已知函数31()ln(),()6fxxagxxb，直线:lyx与()yfx的图象相切．（1）求实数a的值；（2）若方程()()(0,)fxgx在上有且仅有两个解12,xx；①求实数b的取值范围；②比较12121xxxx与的大小．14．（抽象函数型）（14分）已知fx是定义在区间-11，上的奇函数，且1=1f，若,1,1mn，+0mn时，有()()0+fmfnmn。（1）解不等式1+12fxfx；（2）若21ftat2（x）对所有1,1x、1,1a恒成立。求实数t的取值范围。9参答（一）（二）综合大题：1．（分式型）已知函数22(),[1,)xxafxxx（Ⅰ）当12a时求函数()fx的最小值；（Ⅱ）若对任意[1,),()0xfx恒成立，试求实数a的取值范围。解：（Ⅰ）当a=21时,f(x)=xxx2122=x+221x,x∈[1,+∞)∵f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴当x=1时f(x)的最小值为27.（Ⅱ）当任意x∈[1,+∞)时，函数f(x)=22xxax＞0恒成立不等式x2+2x+a＞0对x∈[1,+∞)恒成立。由x2+2x+a＞0，得a＞－x2－2x，令g(x)=－x2－2x=－(x+1)2+1，则g(x)在[1,+∞)上递减，∴当x=1是g(x)最大=－3，因此，a＞－32．（三次型）（14分）设函数3211()(,,,0)32fxaxbxcxabcaR的图象在点,()xfx处的切线的斜率为()kx，且函数1()()2gxkxx为偶函数.若函数()kx满足下列条件：①(1)0k；②对一切实数x，不等式211()22kxx恒成立.（Ⅰ）求函数()kx的表达式；（Ⅱ）求证：1112(1)(2)()2nkkknn()nN.（Ⅰ）解：由已知得：2()()kxfxaxbxc.……………1分由1()()2gxkxx为偶函数，得21()2gxaxbxcx为偶函数，显然有12b.…2分又(1)0k，所以0abc，即12ac.……3分又因为211()22kxx对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式2111()0222axxc恒成立.…………4分10显然，当12a时，不符合题意.…………5分当12a时，应满足10,21114()()0.422aac注意到12ac，解得14ac.…7分所以2111()424kxxx.……8分（Ⅱ）证明：因为2221(1)()44nnnkn，所以214()(1)knn.………9分要证不等式1112(1)(2)()2nkkknn成立,即证22211123(1)24nnn.…………10分因为21111(1)(1)(2)12nnnnn,………12分所以22211111111123(1)233412nnn112224nnn.所以1112(1)(2)()2nkkknn成立.……………14分3．（对数函数+一次函数型）（本小题满分14分）设函数()ln1fxxpx=-+（Ⅰ）求函数()fx的极值点；（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有0)(xf，求p的取值范围；（Ⅲ）证明：2222222ln2ln3ln21(,2)232(1)nnnnNnnn.解：（1）),0()(,1ln)(的定义域为xfpxxxf，xpxpxxf11)(…………2分当),0()(,0)(0在时，xfxfp上无极值点…………3分当p0时，令xxfxfpxxf随、，)()(),,0(10)(的变化情况如下表：x(0，1p)1p1(,)p+?'()fx+0－11()fx↗极大值↘从上表可以看出：当p0时，()fx有唯一的极大值点px1……………7分（Ⅱ）当p0时在1x=p处取得极大值11()lnfpp=，此极大值也是最大值，要使()0fx£恒成立，只需11()ln0fpp=?，∴1p³∴p的取值范围为[1，+∞)…………………10分（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，2,1ln,01lnnNnxxxx，∴1ln22nn，∴222221