等差数列的性质概念解析

2020/4/2013:52:3212．在－1,7之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是______.1,3,5103．在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝____.101．在等差数列{an}中，已知d＝－13，a7＝8，则a1＝____.2020/4/2013:52:3224．如果数列{an}是等差数列，则()BA．a1＋a8a4＋a5C．a1＋a8a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5D．a1a8＝a4a55．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15C．31B．30D．64A2020/4/2013:52:323难点等差数列的性质(1)若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(2)若{an}是等差数列，且m＋n＝2k(k、m、n∈N*)，则am＋an＝2ak.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n－1＋a2n}也是等差数列，公差为4d.(5)若{an}、{bn}都是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．2020/4/2013:52:324等差数列的运算例1：等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．思维突破：可利用已知条件求出a和d，也可利用等差数列性质整体代换．解法一：∵a1＋a4＋a7＝39a2＋a5＋a8＝33，2020/4/2013:52:325等差数列的运算常用两条思路：①根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1、d，然后求其他；②利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N*)⇔am＋an＝ak＋al＝2as.∴3a1＋9d＝393a1＋12d＝33，∴a1＝19d＝－2，∴a3＋a6＋a9＝3a1＋15d＝27.解法二：a1＋a4＋a7＝39①a2＋a5＋a8＝33②，②－①，得3d＝－6，∴a3＋a6＋a9＝a2＋a5＋a8＋3d＝33－6＝27.2020/4/2013:52:3261－1.已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值．解：∵a1＋a17＝a5＋a13，∴a1－a5＋a9－a13＋a17＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117.∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.等差数列性质的基本应用例2：已知等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7＝45，求数列{an}的通项公式．2020/4/2013:52:327思维突破：可以考虑先利用等差数列的性质消元，再求解方程组．解：∵a5＋a6＋a7＝15，∴3a6＝15，a6＝5.∴a5＋a7＝10a5a7＝9，解得a5＝1a7＝9或a5＝9a7＝1.当a5＝1，a7＝9时，d＝4，通项公式an＝a5＋(n－5)d＝1＋(n－5)×4＝4n－19；当a5＝9，a7＝1时，d＝－4，通项公式an＝9＋(n－5)×(－4)＝－4n＋29.2020/4/2013:52:3382－1.已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．解：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.又∵a1a2a3＝231，∴a1a3＝33.∴a1＋a3＝14a1a3＝33，解得a1＝3a3＝11或a1＝11a3＝3.又∵该数列单调递增，∴a1＝3a3＝11.∴d＝a2－a1＝4.∴an＝3＋(n－1)×4＝4n－1.2020/4/2013:52:339等差数列性质的综合应用例3：在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17，解：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.2020/4/2013:52:3310AC3－1.(1)(2010年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10(2)(2010年全国)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35解a2·a5＝52a2＋a5＝17，得a2＝4a5＝13或a2＝13a5＝4，∴d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.2020/4/2013:52:3311例4：一梯子上窄下宽，最高一级宽40cm，最低一级宽80cm，中间还有9级，各极的宽度构成等差数列，求中间各级的宽度．错因剖析：易将梯子的级数弄错，要注意梯子共有11级，40cm是第1级，80cm的是第11级的宽度．正解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知得a1＝40，a11＝80，n＝11，由通项公式得a11＝a1＋10d，即80＝40＋10d，解得d＝4.因此a2＝44，a3＝48，a4＝52，a5＝56，a6＝60，a7＝64，a8＝68，a9＝72，a10＝76.