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一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系中的两点P1、P2间的距离公式:__________________________________.|P1P2|=x1-x22+y1-y22+z1-z222.已知空间一点M的坐标为(x,y,z);(1)与M点关于x轴对称的点的坐标为_____________;(2)与M点关于y轴对称的点的坐标为_____________;(x,-y,-z)(-x,y,-z)2.已知空间一点M的坐标为(x,y,z);(1)与M点关于x轴对称的点的坐标为_____________;(2)与M点关于y轴对称的点的坐标为_____________;(3)与M点关于z轴对称的点的坐标为_____________;(4)与M点关于面xOy对称的点的坐标为__________;(5)与M点关于面xOz对称的点的坐标为__________;(6)与M点关于面yOz对称的点的坐标为__________;(7)与M点关于坐标原点O对称的点的坐标为________________.(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(x,y,-z)(x,-y,z)(-x,y,z)(-x,-y,-z)二、空间向量及其运算1.空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间中,具有____和____的量叫做向量.____相同且___相等的有向线段表示同一向量或相等向_____________________________称为a的相反向量.(2)空间向量的有关知识实质上是平面向量对应的知识的推广,如有关的概念、运算法则、运算律等等.2.空间向量基本定理:如果三个向量a、b、______,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x、y、z,使______________,其中{a,b,c}叫做空间的一个_____,a、b、c都叫做基向量.大小方向方向模与a长度相等而方向相反的向量不共面p=xa+yb+zc基底三、空间向量的坐标运算1.向量a与b的夹角记作______,其范围是_______.如果夹角〈a,b〉=__,称向量a与b垂直.2.已知空间两个向量a、b,则a·b=______________(向量表示)=______________(坐标表示).3.空间向量数量积公式的变形及应用.已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),(1)判断垂直:a⊥b⇔a·b=x1x2+y1y2+z1z2=__.x1x2+y1y2+z1z2|a||b|cos〈a,b〉〈a,b〉[0,π]0π2(2)求向量的模:|a|=__________.(3)求向量夹角:cos〈a,b〉=_____.x21+y21+z21a·b|a||b|1.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为()A.(-1,2,3)B.(1,-2,-3)C.(-1,-2,3)D.(-1,2,-3)解析:点P(x,y,z)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y,-z).答案:B2.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是()A.13,1,1B.(-1,-3,2)C.-12,32,-1D.(2,-3,-22)解析:若a∥b,则a=λb,有-12,32,-1=-12(1,-3,2).答案:C答案:C3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角余弦值为89,则λ等于()A.2B.-2C.-2或255D.2或-255解析:cos〈a,b〉=a·b|a||b|=6-λ3λ2+5=89,则λ=-2或255.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,化简式子:DA→-DB→+B1C→-B1B→+A1B1→-A1B→=________.解析:DA→-DB→+B1C→-B1B→+A1B1→-A1B→=BA→+BC→+BB→1=BD→+BB→1=BD→+DD→1=BD→1.答案:BD1→1.建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住“相交于同一点的两两垂直的三条直线”,要在题目中找出或构造出这样的三条直线,因此,要充分利用题目中所给的垂直关系(即线线垂直、线面垂直、面面垂直),同时要注意,所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系.在右手空间直角坐标系下,点的坐标既可根据图中有关线段的长度,也可根据向量的坐标写出.2.空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的,因此,可以利用类比平面向量的方法解决本节的很多内容.(1)零向量是一个特殊向量,在解决问题时要特别注意零向量,避免对零向量的遗漏.(2)λa是一个向量,若λ=0,则λa=0;若λ≠0,a=0,则λa=0.(3)讨论向量的共线、共面问题时,注意零向量与任意向量平行,共线与共面向量均不具有传递性.(4)①数量积运算不满足消去律,即a·b=b·c⇒a=c.②数量积的运算不适合乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c).这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.③空间向量没有除法运算.(5)借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算,如:①判断线线平行或诸点共线,转化为“a∥b(b≠0)⇔a=λb”;②证明线线垂直,转化为“a⊥b⇔a·b=0”,若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则转化为计算a1b1+a2b2+a3b3=0;③在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时,转化为求向量的夹角,利用公式cosθ=a·b|a||b|;④在求立体几何中线段的长度时,转化为求a·a=|a|2,或利用空间两点间的距离公式.两条异面直线所成的角θ与两异面直线对应的向量a,b的夹角关系为cosθ=|cos〈a,b〉|.3.利用cos〈a,b〉=a·b|a||b|求两向量的夹角与求两直线夹角θ的区别与联系,即①当〈a,b〉∈0,π2时,θ=〈a,b〉;②当〈a,b〉∈π2,π时,θ=π-〈a,b〉.4.运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤为:①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③写出向量的坐标;④结合公式进行论证、计算;⑤转化为几何结论.考点一求点的坐标【案例1】(2009·安徽)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________.关键提示:设出M点的坐标后利用空间两点间的距离公式求解.解析:本题主要考查空间两点距离的计算.设M(0,y,0),因|MA|=|MB|,由空间两点间距离公式得1+y2+4=1+(y+3)2+1,解得y=-1.答案:(0,-1,0)(即时巩固详解为教师用书独有)【案例2】如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,M为BD′的中点,点N在A′C′上,且|A′N|=3|NC′|,试求MN的长.关键提示:建立空间直角坐标系后再求出各点的坐标,然后求出MN的长.解:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为正方体棱长为a,所以B(a,a,0),A′(a,0,a),C′(0,a,a),D′(0,0,a).因为M为BD′的中点,取A′C′中点O′,所以Ma2,a2,a2,O′a2,a2,a.因为|A′N|=3|NC′|,所以N为A′C′的四等分点,从而N为O′C′的中点,故Na4,3a4,a.根据空间两点距离公式,可得|MN|=a2-a42+a2-3a42+a2-a2=64a.【即时巩固1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且边长为2a,棱PD⊥底面ABCD,PD=2b,取各侧棱的中点E,F,G,H,写出点E,F,G,H的坐标.解:由图形知,DA⊥DC,DC⊥DP,DP⊥DA,故以D为原点,建立如图空间坐标系D-xyz.因为E,F,G,H分别为侧棱中点,由立体几何知识可知,平面EFGH与底面ABCD平行,从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半,也就是b.由H为DP中点,得H(0,0,b).E在底面上的投影为AD中点,所以E的横坐标和纵坐标分别为a和0,所以E(a,0,b),同理G(0,a,b);F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G,故F与E横坐标相同都是a,与G的纵坐标也同为a,又F的竖坐标为b,故F(a,a,b).考点二空间向量基本定理的应用【案例3】如图,长方体OABC—O′A′B′C′中,G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心,若OA→=a,OC→=b,OO′→=c,用a、b、c表示如下向量:OB′→、O′B→、AC′→、GH→.关键提示:利用空间向量基本定理将所求向量表示成已知向量的形式.解:OB′→=OA→+AB→+BB′→=a+b+c,O′B→=O′O→+OA→+AB→=-c+a+b=a+b-c,AC′→=AB→+BB′→+B′C′→=OC→+OO′→+AO→=b+c-a,GH→=GB→+BA→+AA′→+A′H→=12C′B→+CO→+OO′→+12A′C′→=12O′A→+CO→+OO′→+12AC→=12(O′O→+OA→)+CO→+OO′→+12(AO→+OC→)=12c-12b.【即时巩固2】如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若B1A1→=a,A1D1→=b,A1A→=c,则下列向量中与B1M→相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.12a-12b+cD.-12a-12b+c答案:B解析:B1M→=B1B→+BM→=c+12(BA→+BC→)=c+12a+12b.【即时巩固3】如图所示,在60°的二面角α-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A、B,已知AB=AC=BD=a,求线段CD的长.解:因为AC⊥AB,BD⊥AB,所以CA→·AB→=0,BD→·AB→=0.又因为二面角α—AB—β为60°,所以〈CA→,BD→〉=120°,于是|CD→|2=CD→2=(CA→+AB→+BD→)2=CA→2+AB→2+BD→2+2CA→·BD→+2BD→·AB→+2CA→·AB→=3a2+2a2cos120°=3a2-a2=2a2,所以CD=2a.考点三证明垂直问题【案例4】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1D、BD的中点,G在棱CD上,且CG=14CD,H为C1G的中点,应用空间向量方法求解下列问题.(1)求证:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成的角的余弦值;(3)求FH的长.关键提示:建立空间直角坐标系,利用空间向量来解决.(1)证明:如图所示,建立空间直角坐标系D-xyz,D为坐标原点,则有E(0,0,12)、F(12,12,0)、C(0,1,0)、C1(0,1,1)、B1(1,1,1)、G(0,34,0).EF→=(12,12,0)-(0,0,12)=(12,12,-12),B1C→=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1).所以EF→·B1C→=12×(-1)+12×0+(-12)×(-1)=0.所以EF→⊥B1C→,即EF⊥B1C.(2)解:因为C1G→=(0,34,0)-(0,1,1)=(0,-14,-1),所以|C1G→|=174.又EF→·C1G→=12×0+12×(-14)+(-12)×(-1)=38,|EF→|=32,所以cos〈EF→,C1G→〉=EF→·C1G→|EF→||C1G→|=5117.即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为5117.(3)解:因为F(12,12,0)、H(0,78,12),所以FH→=(-12,38,12),所以|FH→|=-122+382+122=418.【即时巩固4】已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,用向量法解决下列问题:(1)求A1B和B1C的夹角;(2)证明A1B⊥AC1;(3)求AC1的长度.(1)解:选取{AA1→,AB→,
本文标题:空间直角坐标系与空间向量及其运算
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