5.1-平行关系的判定

§5平行关系5.1平行关系的判定αa直线与平面α相交a∩α=A有且只有一个交点αAaaα直线a与平面α平行a∥α无交点我们知道，一条直线和一个平面有三种位置关系?直线在平面α内aα有无数个交点直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.在生活中，注意到门扇的两边是平的．当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．如何判定一条直线和一个平面平行呢？观察1:门转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系是什么？ABAB观察2：将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？本节课我们来学习平行关系的判定！平行1.理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.（重点）2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个定理，并知道其地位和作用.(重点）3.能运用两个定理证明线面、面面平行问题.（难点）ba思考1：如果平面内有直线与直线平行，那么直线与平面的位置关系如何？aba是否可以保证直线与平面平行？a探究点1直线与平面平行的判定ba平面外有直线平行于平面内的直线．ab（1）这两条直线共面吗？（2）直线与平面相交吗？a共面不可能相交思考2：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.直线和平面平行的判定定理b,//b,//.若直线平面，直线则lll转化到线线平行直线与平面平行的画法把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形一边平行.abαaαb家庭中安装方形镜子时，为了使镜子的上边框与天花板平行，只需要使镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行，显然用到了这个判定定理.安装教室里的日光灯，也用到了这个判定定理.【思考交流】你能举出生活中应用线面平行判定定理的例子吗？例1空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点.判断EF与平面BCD的位置关系.ABCDEF解设由相交直线BC，CD所确定的平面为α，如图，连接BD.易见，EF不在平面α内.由于E，F分别为AB,AD的中点，所以EF∥BD.又BD在平面α内，所以EF∥α.α例2如图所示，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点.试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况.BCEDGFAH由EF//AC//HG，得(1)EF//平面ACD;(2)AC//平面EFGH;(3)HG//平解面ABC.由BD//EH//FG，得(4)BD//平面EFGH;(5)EH//平面BCD;(6)FG//平面ABD.证明连接AF延长交BC于G，连接PG.【变式练习】如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA.∴GFFA＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG.而EF平面PBC，PG平面PBC，∴EF∥平面PBC.1.线面平行，通常可以转化为线线平行来处理.【反思领悟】2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定来完成.3.证明的书写:三个条件“内”、“外”、“平行”缺一不可.思考：空间两平面有哪些位置关系？相交平行有公共点无公共点探究点2面面平行的判定定理思考:反之，若α中所有直线都平行β，则α∥β启示：两个平面平行的问题，可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.若平面α∥β，则α中所有直线都平行β??线面平行面面平行转化无限有限转化平行平行平面α内有一条直线a平行于平面β,则α∥β吗?请举例说明.问题1问题2平面α内有两条直线a,b平行于平面β,则α∥β吗?请举例说明.探究:不能不能模型１αβaα//β?αα模型２a//βabαb//ββa//b直观感受平面α内有两条相交直线a,b平行平面β,则α∥β吗?abαβab你能得到什么结论？问题3平面α内有两条相交直线a,b平行平面β,则α∥β吗?平行a,bab=Pa//b////符号语言面面平行线面平行线线平行ab图形语言如果一个有两条直线都平行于另一个平面，相交那么这两个平面平行.P转化转化平面内线不在多贵在相交a,b例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证:平面AB1D1//平面C1BD.证明：如图,因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以BD∥B1D1.因此，平面AB1D1∥平面C1BD.又B1D1平面AB1D1，从而BD∥平面AB1D1同理可证BC1∥平面AB1D1.又直线BD与直线BC1交于点B.C1CBAA1B1D1D【变式练习】已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC.【证明】在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB，又知DE平面ABC，因此DE∥平面ABC，同理EF∥平面ABC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.1判断下列说法是否正确：（2）若直线a//b，a//c，且，则.（）bc，a//（1）若直线a与平面内的一条直线平行，则a与平面平行.（）（4）如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有直线平行.（）（3）如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数条直线平行.（）××√×2．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是()A．③④B．①②C．②③D．①④D3.α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是()A.α，β都平行于直线a，bB.α内有三个不共线点到β的距离相等C.a,b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD.a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β解：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A，B，C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β.故选D．D所以，BE∥AF，BE平面PAD，AF平面PAD，根据线面平行的判定定理可得BE∥平面PAD.4.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点，求证BE∥平面PAD.证明：取PD的中点F，连接EF，AF，由E，F为中点，所以EF∥CD且EF=CD，又AB∥CD，CD=2AB，故EF∥AB，且EF=AB，从而四边形ABEF为平行四边形，12FPABCDEF5、在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF//平面ABC.MNO证明：连接PD并延长交AB于点M连接PE并延长交BC于点N，连接PF并延长交AC于O，连接MN，MO∵D，E分别为△PAB、△PBC的重心∴DE∥MN又∵DE面ABC，MN面ABC∴DE∥面ABC，同理：DF∥面ABC又∵DE∩DF=D∴面DEF∥面ABC⊆1.线面平行的判定定理：线线平行线面平行（将空间问题转化为平面问题）2.线面平行的判定方法:平行移动法平行四边形中位线等////lblab3.面面平行的定义；4.面面平行的判定定理；5.面面平行判定定理的应用：线线、线面、面面间的位置关系的转化.不能因为人生的道路坎坷，就使自己的身躯变得弯曲；不能因为生活的历程漫长，就使求索的脚步迟缓.