导数的几何意义的应用

《导数的几何意义的应用》教学设计[教材分析]导数是高中数学学习的重要内容，复习中应重点关注导数的应用，纵观各地的高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。而其中的切线方面的求法涉及到导数的几何意义的应用，学好了它对其数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在复习时，有必要再对其进行专题复习。[学生分析]学生虽然已经学完了导数，也对导数的几何意义有了一定的认识，但由于学生容易忽略对点与曲线位置关系的判断，并对点在曲线外的求解方法还不能熟练掌握。因此有必要对此内容进行专题训练使学生能更好地掌握。[教学目标]1.知识与技能：会用导数的几何意义解决数学问题。2..方法与过程：通过探究导数的几何意义的应用，培养学生自主探究和解决问题的能力，锻炼学生的思维品质。3.情感与态度：由导数的几何意义引入问题，利用探究题、开放性题深化了对该知识的理解，借助于多媒体教学手段，给学生提供了思维的直观想象。通过学生主动参与，体验导数的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会。[教学重点]利用导数的几何意义解决数学问题。[教学难点]过曲线外一点求曲线的切线方程。[教学准备]多媒体辅助教学（利用实物投影进行教学）[教学方法]启发探究式（教师设问引导，学生自主探究，合作解决）[教学过程]一、复习导入，构建知识网络：判断函数的单调性导函数导数的运算导数的应用判断函数的极大（小）值求函数的最大（小）值生活中的优化问题求简单函数的导数导数的几何意义导数的定义求过曲线上一点的切线方程导入：本节课重点复习——导数的几何意义的应用设计意图：由于学生回忆以往知识，用实物投影仪以框图的形式给出，让学生对导数有一个全面的了解，形成脑图。引导学生从“整体”到“局部”再到“整体”的认知规律，是高三专题课“整体化”的教学思想的体现。二、探索研究，引导归纳活动一：探究求曲线上一点的切线方程的方法尝试题：课本P123例3：已知曲线y=31x3上一点p(2,38)，求点p处的切线方程。分析：关键求切线的斜率)2(fk。解法：由导数的几何意义得y＇=x2，则2|xy=22=4。所以，在点p处的切线方程是y-38=4(x-2)，即12x-3y-16=0。设计意图：通过课本中的例题创造导数几何意义的应用的环境，为探究题作铺垫。活动二：探究过曲线外一点求曲线方程的方法。探究题：求曲线C:y=x3-3x过点P(0,16)的切线方程。分析：要注意到该点在曲线外，解此题的关键是将该问题转化为点在曲线上的问题。解法一：点斜式（常规法）设过点A(0,16)且与曲线y=x3-3x相切的切点的坐标为（x0,y0），由导数的几何意义得：y=3x2-3得k=f(x0)=3x02-3，由直线方程的点斜式得y-16=(3x02-3)（x-0）又（x0,y0）在其上y0=x03-3x0。所以x03-3x0=3x03-3x0=16，2x03=-16，x0=-2，故所求切线方程为9x-y+16=0。解法二：两点斜率（公式法）设切点坐标为（x0,y0）则0016xy=3x02-3，又y0=x03-3x0，所以x03-3x0-16=3x03-3x0，解得x0=-2。故所求切线的方程为9x-y+16=0。设计意图：探究题旨在给不同层次的学生留有学习的空间，培养独立思考，善于思考的好习惯。三．拓展探索，开放思维开放题：求曲线y=4x2上的点到直线y=2x-1的距离的最小值。分析:法一：将问题转化为求曲线上哪一点处的导数值为2。法二：将问题转化为直线与圆锥曲线的位置关系的判断以及求解问题。法三：将问题转化为求二次函数最值问题。解法一（导数法）：设点（x0,y0）即（x0,4y0）到直线y=2x-1的距离最小，亦即该点处的导数值为2。所以，y|x=x0=8x0=2,所以x0=41，y0=4x02=4×161=41。又（41，41）到直线y=2x-1的距离d=5|141412|=5203。解法二（判别式法）：设过曲线y=4x2上的点且与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b(或设与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b)，由bxyxy224得4x2-2x-b=0由该直线与曲线相切得△=0，即△=（-2）2-4×4×（-b）=0，4+16b=0，16b=-4，b=-41，故切线方程为2x-y-41=0此直线与直线2x-y-1=0间的距离为d=5203。解法三（公式法）：设曲线y=4x2上点（x0,y0）到直线y=2x-1的距离为d，则由到直线的距离公式有d=5|43414|5|124|5|12|202000xxxyx，当x0=41时，dmin=5203。设计意图：此开放性题借助数形结合，提供思维想象载体，使问题更直观，利用转化思想通过不同的角度和途径解决一个共同的研究，旨在促进前后知识的融会贯通，发散学生的思维，培养学生良好的思维品质由师生共同完成。四、总结转新先由学生概括总结本节课的主要内容，然后教师补充。1.利用导数的几何意义，求过一点的曲线的切线方程时，首先要判断点与切线的位置关系，当点不在曲线上时，要注意转化为总在曲线上的求解。2.在解灵活性较强的问题时，要注意选择适当、最优方法来解决以便于取得最佳效果。3.导数时高考考查内容，同学们要引起足够的重视。设计意图：使知识条理化、系统化。五、布置作业1.求曲线C：y=x2+x过点p(1,1)点的切线方程。2.（04天津）已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值。（1）讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值。（2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)切线，求此切线方程。设计意图：巩固和发展所学知识。六、板书设计七、教学反思（略）导数的几何意义的应用求点在曲线上的切线方程点在曲线外的切线方程尝试题开放性题探究题《导数的应用》教学案例[摘要]导数是高中数学学习的内容，复习中应重点关注导数的应用，纵观近年来各地的高考试题，大多数以一个大题的形式考察这部分内容，内容主要与单调性、最值、切线这三个方面有关。本文通过一个“求过一点的曲线的切线方程”的问题，学生围绕这个问题，自主学习、合作探究、亲自尝试接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，提高学生利用以学知识去主动获取知识的能力。组织学生参与“提出问题——辨析问题——探索解决——总结归纳——拓展升华”的学习活动过程，利用多媒体演示、变式练习等激发学生的学习兴趣和求知欲望，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神，有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力。[关键句]教学案例导数应用自学预习实践能力多媒体变式训练开放性题一、案例1.提出问题，诱发思考[师]同学们好，今天我们接着学习《导数的应用》，首先尝试练习这道题：求曲线C：y=x2+x过P（1,1）点的切线方程。哪位同学上台板演呢？（一个学生上台板演，学生动手求解，求解中允许与周围同学讨论，几分钟后）。2.问题辨析，唤起回忆。[师]大家解出来了么？解出来的同学请看黑板，是否和这位同学意见一样。[生]我和他的想法不一样，我认为点p不在该曲线C上,所以不能用过曲线上一点的切线方程的求法来解。[师]很好，请同学们看大屏幕。（用多媒体演示点与曲线的位置关系的情形）[师]那你是怎么解的？[生]我思考了半天，但没有解出来。[师]你刚才的思路很好，是否能把此问题转化为“求曲线上一点的切线方程的方法来求解呢？”请大家认真观察图像。（用多媒体演示点从曲线上到曲线外的过程）3.探索解决，分组探究。[师]请同学们分组探究一下该问题（学生按小组开始交流讨论，共同探究，过几分钟后）[师]哪位同学上台来修改（两个学生主动上台板演，教师在巡视中发现，教师的提示起到了重要的作用，台上这两位学生求解过程如下：）[生1]设切点为(x1,y1),因为y=2x+1,所以切线斜率为k=y|x=x1=2x1+1故切线方程为y-y1=(2x1=1)（x-x1）.则1-（x12+x1）=(2x1+1)(1-x1)解得，x1=0或x1=2故所求方程为y=x及y=5x-4[生2]设切点为（x0,y0）,因为y=2x+1，所以切线斜率为k=y|x=x0=2x0+1又因为过点（x0,y0），与（1，1）两点的斜率k=1100xy,所以2x0+1=1100xy整理得2x02-x0=y0,又由y0=x02+x0得2x02-x0=x02+x0,解得x0=0或x0=2，故所求切线方程为y=x或y=5x-4。（教师让这两个同学把各自的求解思路作汇报后，作出点评4.总结归纳，巩固加深[师]在解此类题时，应先判断该点是否在曲线上，若点不在曲线上则转化为在曲线上的问题来解决，本题可用常规法解，也可用公式法求解。下面请同学们试做这道变式训练题，求曲线C:y=x3-3x,过p(0,16)点的切线方程（学生动手解答，教师巡回指导，过几分钟后）[师]哪位同学上台展示一下你的思路和过程？（一个同学上台讲解）[生甲]由题可判断P点不在曲线C上，若设切点为（x0,y0）,由导数的几何意义得切线斜率k=3x02-3,又由直线方程的点斜式得，切线方程为y-16=(3x02-3)(x-0)因为（x0,y0）在该曲线上，所以y0=x03-3x0,于是得x03-3x0=(3x02-3)x0=16,解得x0=-2,进而求出所求切线方程为9x-y+16=0[师]非常好，同学们还有其它解法吗？（另一个同学主动上台）[生乙]因为点p不在曲线C上，可设切点为（x0,y0），由y=3x2-3,得斜率k=3x02-3,又过两点的斜率公式得k=0160xy所以0160xy=3x02-3，所以x03-3x0-16=3x03-3x0.解得x0=-2,故所求切线方程为9x-y+16=0[师]真棒，大家掌声鼓励一下这两位同学（教室里一片掌声）5拓展延伸，升华提高[师]下面请同学们再练习一道开放性题：求曲线y=4x2上的点到直线y=2x-1的距离的最小值。请同学们分组讨论，相互交流（教室中学生按小组交流讨论，共同探究，过几分钟后）[师]每小组用你们自己的方法试一下[组1]（设点（x0,y0）即（x0,4y0）到直线y=2x-1的距离最小，亦即该点处的导数值为2。所以，y|x=x0=8x0=2,所以x0=41，y0=4x02=4×161=41。又（41，41）到直线y=2x-1的距离d=5|141412|=5203。[组2]设过曲线y=4x2上的点且与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b(或设与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b)，由bxyxy224得4x2-2x-b=0由该直线与曲线相切得△=0，即△=（-2）2-4×4×（-b）=0，4+16b=0，16b=-4，b=-41，故切线方程为2x-y-41=0此直线与直线2x-y-1=0间的距离为d=5203。[组3]设曲线y=4x2上点（x0,y0）到直线y=2x-1的距离为d，则由到直线的距离公式有d=5|43414|5|124|5|12|202000xxxyx,当x0=41时，dmin=5203.[师]棒极了，大家注意到了没有？第一组：将问题转化为求曲线上哪一点处的导数值为2。第二组：将问题转化为直线与圆锥曲线的位置关系的判断以及求解问题。第三组：将问题转化为求二次函数最值问题。此类题解法灵活多样，同学们要注意选择适当、最优的方法来解题，以便取得最佳效果。（学生概括总结本节课的主要内容，然后教师补充说明）二、案例分析与反思1.教学案例以探究为主线，采用问题教学模式，让他们自己去体验探索的艰辛和体会成功的喜悦，真正将学生置于教育教学的主体地位，充分发挥每个学生的创新精神和创造潜能，并引导学生讨论探索性问题，符合学生的认识规律，体现了新课程“倡导自主探索、动手实践、合作