南昌大学第三届高等数学竞赛理工类试题及答案

第1页共12页南昌大学第三届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学院:专业：学号：考试日期：2006年9月24日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156677877787100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.一、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、nnnn3lim3＝.2、心形线cos12r所围成的面积是.3、dxxx10211ln＝.4、螺旋线x2tcos，tysin2，tz在0,0,2处的切线与z轴的夹角为.5、级数nxnnen2111的收敛区间是.第2页共12页二、选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设xf在ax的某个邻域内有定义，则xf在ax处可导的一个充分条件是（）(A)hhafhafh2lim0存在.(B)330limhhafafh存在.(C)220limhhafafh存在.(D)22202limhhafhafh存在.2、设二元函数,0,0,0,,2222222yxyxyxyxyxf则下面叙述中正确的是()(A)yxf,在点0,0处的极限不存在.(B)yxf,在点0,0处的极限存在但不连续.(C)yxf,在点0,0处连续但不可微.(D)yxf,在点0,0处可微.3、方程xexyyy2265的一个特解可设为（）(A)xebxaxy22.(B)xecbxaxy22.(C)xxecaxy22.(D)xxecbxaxy22.4、设22xyfxz，f有连续的导数，则yzyxzx2（）(A)2z.(B)2zx2.(C)z.(D)zx2.5、级数21sin1nnnn的敛散性为()(A)无法判断,与有关.(B)发散.(C)条件收敛.(D)绝对收敛.第3页共12页三、（本题满分6分）设0ab,计算dxxxxab10ln.四、（本题满分6分）设xf在1,0上二阶可导,且00f,11f,010ff.证明在1,0内至少存在一点使4f.得分评阅人得分评阅人第4页共12页五、（本题满分7分）设xf在,内有连续导函数，求dyxyfyyxdxyxyfyL11222，L是从点32,3A到2,1B的直线段.六、（本题满分7分）设xf在,内有定义，且00f，0f存在，对于任意,,yx，恒有yfxfyxf，求xf.得分评阅人得分评阅人第5页共12页七、（本题满分8分）判别级数11ln1nnnn的敛散性，并求nnnln1211lim八、（本题满分7分）有连接两点1,0A、0,1B的一条凸曲线，它位于弦AB的上方，yxP,为曲线上任意一点，已知曲线与弦AP之间的面积为3x，求曲线方程.得分评阅人得分评阅人第6页共12页九、（本题满分7分）设0,0,0cba，为长方体czbyaxzyx0,0,0:,,的外侧，xf，yg，zh为连续函数，计算dxdyzhdxdzygdydzxf.十、（本题满分7分）求极限nnnnnnn1222222221312111lim.得分评阅人得分评阅人第7页共12页十一、（本题满分8分）求级数121121nnnnnx的和函数,并指明定义域.十二、（本题满分7分）求圆锥22yxz被圆柱xyx22所截部分的面积.得分评阅人得分评阅人第8页共12页南昌大学第三届高等数学竞赛理工类试题答案一、填空题1、3.2、6.3、2ln8.4、51arccos或52arcsin或2arctan.5、,1.二、选择题1、B2、C3、D4、A5、C三、dyxdxIbay10＝dxxdyyba10＝dyyxbay1011＝dyyba11＝bay1ln＝ab1ln1ln.四、在0x与1x处分别将xf展成一阶泰勒公式2121212100xfxfxffxf，1,01，22221211121111xfxfxffxf，1,02.上两式将21x代入再相减，得812ff.因为fffff21212，其中21,maxfff，1,0.从而第9页共12页4f.五、yxyfyP21，122xyfyyxQ，21yxyfxyxyfyP＝xQ，所以曲线积分与路径无关.设32,1C,则CBACL.原式＝dyyyfdxxf23221313294123＝－3＋1323223213dyyfdxxf＝－4六、令0x，0y得002ff，由00f得10ftxftxfxft0lim＝txftfxft0lim＝ttfxft1lim0＝0fxf由00f知对任意x，0xf.于是dxfxfxdf0，cxfxfln0ln，xfcexf0，将10f代入得1c，故xfexf0.第10页共12页七、由211lnlim20xxxx得21111ln1lim2nnnn，于是11ln1nnnn收敛，从而1ln1211limnnn存在，故0ln1ln1211limnnnn，由1ln1lnlimnnn得1ln1211limnnn八、设所求曲线方程为xfy，由题意得01f且3021xxfxdxxfx，两边求导并整理得xxxfxxf2611，解一阶非线性微分方程得cxxxf261，由01f解得5c，故xxxf5612九、先计算dxdyzhI3.将分为六张平面：0:1x取后侧；ax:2取前侧；0:3y取左侧；by:4取右侧；0:5z取下侧；cz:6取上侧.第11页共12页由于1，2，3，4在xoy平面上的投影区域是一线段，故dxdyzhdxdyzhdxdyzhdxdyzh4321＝0又00005abhdxdyhdxdyzhbyax，cabhdxdychdxdyzhbyax006.故有abhchI03.同理可得bcfafdydzxf0，acgbgdxdzyg0.故dxdyzhdxdzygdydzxf＝abhch0＋bcfaf0＋acgbg0＝chchbgbgafafabc000十、令nnnnnnI1222222221312111，2222221ln21ln11ln1lnnnnnnIninin1221ln1dxxIn1021lnlnlim＝242ln从而242limeIn，即原式＝242e十一、令xS121121nnnnnx，则第12页共12页122112nnnxxS212x，1x从0到x积分得xtdtxSxarctan21202，1x.再从0到x积分得201lnarctan2arctan2xxxdttxSx，1x.当1x时，121121nnnnnx＝11121nnnn也收敛，故收敛域为1,1.十二、22yxxzx，22yxyzy.因而2122yxzz，SDdxdyzzyx221＝2Ddxdy，其中D是xyx22，于是Ddxdy＝4，故S42.