1.4《生活中的优化问题举例》

1.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例内容：生活中的优化问题应用:1.海报版面尺寸的设计2.圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题3.饮料瓶大小对饮料公司利润有影响问题1:学校宣传海报比赛，要求版心面积128dm左右边距1dm上下边距2dm，请问你将如何设计？例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？x图3.4-1分析：已知版心的面积，你会如何建立函数关系表示海报四周的面积呢？128:,,xdmdmx解设版心的高为则版心的宽为此时四周空白面积为'0,160xsx当时，；你还有其他方法求这个最值吗？128()(4)(2)128Sxxx51228,0xxx'2512 ()2Sxx求导数,得'2512()20Sxx令1616xx解得：，（舍）128128816x于是宽为：'16,0.xsx当时，因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。(0,16)x(16,)()Sx()Sx160极小值解法二：由解法(一)得512512()28228Sxxxxx232872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时取最小值8128此时y=16816dmdm答：使用版心宽为，长为时，四周空白面积最小。例2.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[思路探索]解答本题可先设出未知量，根据已知条件寻求未知量间的关系，写出面积函数，进而用导数法求函数的最值以及取最值时变量的取值．解设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，y－252，其中x20，y25.两栏面积之和为2(x－20)·y－252＝18000，由此得y＝18000x－20＋25.广告的面积S＝xy＝x18000x－20＋25＝18000xx－20＋25x，∴S′＝18000[x－20－x]x－202＋25＝－360000x－202＋25.令S′0得x140，令S′0得20x140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．2.在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.1.设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。练习1.一条长为的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0xl,)2(81)24(161lxlxS2,0lxS得令由问题的实际意义可知：.,2取最小值时当Slx.322l最小值为l饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？例3：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是当半径r＞２时，f’(r)0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)0它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。２.半径为６cm时，利润最大。?,)44.1(,:你有什么发现上观察图从函数的图象直接数工具们不用导我果如换一个角度.,3r;,cm3,03f,3r,利润才为正值时当好相等成本恰饮料的利润与饮料瓶的时即瓶子半径是时当易看出图象上容从?,rf,2,0r解释它的实际意义吗你能是减函数时当ory23图1.4-4由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案解决优化问题的一般步骤：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案。注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。练习1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.02360)(2xxxV由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积16000cm3.1.已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为1004Cq,价格p与产量q的函数关系式为1258pq,求产量q为何值时，利润L最大？1(25)(1004)8LpqCqqq解：利润21211008qq1'21,'0,4LqL令84q求得'0L当时,q84,'0L当时,q84,84qL当产量为时，利润最大选做题:21211008qq1(25)(1004)8LpqCqqq另解：利润2184124bqLa当时，的值最大2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.hb600EDCBA解：由梯形面积公式，得S=21(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=33h,BC=b∴AD=332h+b,∴S=hbhhbh)33()2332(21①∵CD=hh3230cos,AB=CD.∴l=h32×2+b②由①得b=33hSh,代入②,∴l=433333SShhhhhhb600EDCBAl′=23hS=0,∴h=43S,当h43S时，l′0,h43S时，l′0.∴h=43S时，l取最小值，此时b=S3324.3.A、B两村距输电线（直线）分别为1km和1.5km（如图），CD长3.km.现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长AEBE最小.分析:法一:这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决.法二:只要能把AE+BE代数化,问题就易解决A解设x如图，并设输电线总长为)(xL.则有222()1(3)1.5,03.LxAEEBxxx≤≤222222(3)1.5(3)1()0(3)1.51xxxxLxxx,222(3)1.5(3)1xxxx,21.25690.xx解得1.2x和6x(舍去).答：……3.A、B两村距输电线（直线）分别为1km和1.5km（如图），CD长3.km.现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长AEBE最小.练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解:设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为又(定值),.2RVhp则222)(RRhRSpp2222)(RRVRRSppp.222RRVp.042)(2RRVRSp由.23pVR解得3222ppVRVh从而即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答：罐高与底的直径相等时,所用材料最省.hRV2p变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？