电子教案-第6章-线性空间

高等代数备课资料第六章线性空间第六章线性空间§1集合与映射1.集合1).定义:具有某种特性的事物的全体.自然数集,实数集,复数集.多项式集合,矩阵集合.2).组成集合的事物称为这个集合的元素.是集合aM中的一个元素,记为Ma∈,表示不是集合Ma∉aM的一个元素.3).空集合:不含任何元素的集合,记为∅.4).表示方法:列举法和描述法.列举法:列举出集合的元素,适合于含有有限个元素的有限集,和从几个元素可以看出其余元素的无限集.如:,,.}5,4,3,2,1{}100,,3,2,1{},3,2,1{描述法:,如:}|{所满足的性质元素aaS=n阶矩阵的全体:}|{阶方阵是nAAS=}1|),{(22=+=yxyxS,.}1|),,{(222=++=zyxzyxS5)集合必须满足:元素的互异性和元素的确定性.6)集合之间的运算:a)相等:,两个集合所含元素相同.NM=NM=⇔MaNaNaMa∈⇒∈∀∈⇒∈∀;b)子集合:,NM⊆M中的元素都是中的元素.N注:任一集合都是其自身的子集合.MM⊆M⊆∅空集是任一集合的子集合.NM=⇔MNNM⊆⊆,c)交:,既属于NM∩M又属于的元素的全体..NNNMMNM⊆⊆∩∩,xMN∈⇔∩xM∈且xN∈.d)并:,或者属于NM∪M,或者属于的元素的全体,NNNMMNM⊇⊇∩∩,.xMN∈⇔∪xM∈或xN∈.e)补:若,NM⊆M在中的补集定义为属于但是不属于NNM的元素的全体,记为:MN−或者cM.即.},|{MaNaaMc∉∈=f)积:,有顺序的元素对.},|),{(NbMabaNM∈∈=×运算律:交换律:,MNNM∪∪=MNNM∩∩=.结合律:,)()(SNMSNM∪∪∪∪=)()(SNMSNM∩∩∩∩=.分配律:,)()()(SMNMSNM∩∪∩∪∩=)()()(SMNMSNM∪∩∪∩∪=.对偶律:.ccccccNMNMNMNM∪∩∩∪==)(,)(1高等代数备课资料第六章线性空间2.映射取两个集合,',MM1)定义:若存在一个对应法则,对fM中任一元素,都有唯一的一个元素'a'Ma∈,使得'与对应,这个对应法则就称为一个映射:.aa';':aaMMf→若是fM到'M的一个映射,,则称为在映射下的原象,为在映射下的象,)('afa=a'af'aaf集合的自身到自身的映射称为这个集合的一个变换.2)例子:a).nnf2;2:ZZ→b)1:():nfMPPAA→,2:():nfFMPaaE→.c)1:[][]:()'()fPxPxfxfx→,20:[]:()(())fPxfxfx→∂Z.d)特殊的几个:取',,',MM'',MaMa∈∈0Ma∈是个固定的元素.0;':axMMf→:常值映射.:恒等映射,单位映射.aaMMf;:→e)函数:.)(;:xfxfRR→3)关于映射的一些概念a)相等:设都是集合gf,M到集合'M的映射,若任给Ma∈,都有)()(agaf=,则称映射是相等的.b)乘积:若有映射,任给'MMMfg⎯→⎯⎯→⎯Mx∈,则定义与的乘积为.满gf))(()(xgfxfg=足结合律.c)设映射',:MMf→'}|)({)(MMxxfMf⊆∈=,(1)满射:若,即')(MMf='M中任一元素都有原象.任给''Mx∈,存在Mx∈,使得')(xxf=(2)单射:不同的元素的象也不同,任给Mxx∈21,,21xx≠,则)()(21xfxf≠.或者任给Mxx∈21,,若,则.)()(21xfxf=21xx=(3)双射:即单又满的映射.对有限集合而言,存在双射当且仅当两个集合所含元素个数相等.无限集合的例子nnf2;2:ZZ→d)逆映射,设'是一双射,定义其逆映射为为双射时对应的元素.:MMf→MMf→−':1若':';fMMaa→,则1:';'fMMa−→a,且11'1,1MMffff−−==.2高等代数备课资料第六章线性空间§2线性空间的定义及简单性质这是一个抽象的概念,先看几个例子.1.几个例子例1:多项式的集合:.考察元素之间的运算:[]{()|()}PxfxfxP=是数域上的多项式)()(xgxf+,,.满足性质如下:)()(xgxf)(xkf)()()()(xfxgxgxf+=+,)()(hgfhgf++=++,ff=+0,0)(=−+ff.)()(1xfxf=,)()())((xfklxlfk=,)()()()(xlfxkfxflk+=+,(()())()()kfxgxkfxkgx+=+.当然对于乘法还有.)()(,ghfhfggffg==例2:矩阵的集合:.{|()}nnijnPAAa×==BA+,,,kAABABBA+=+,)()(CBACBA++=++,,0AA=+0)(=−+AA.lAkAAlkkBkABAkAkllAkAA+=++=+==)(,)(,)()(,1.例3:向量空间,维向量的全体.nPnβα+,αk,αββα+=+,)()(γβαγβα++=++,0)(,0=−+=+αααα..)(,)(,)()(,1αααβαβαααααlklkkkkkllk+=++=+==2.线性空间1)定义:设V是一个非空集合,是一个数域.在集合V的元素之间定义一种运算(加法):对于V中任两个元素Pβα,,在V中有唯一的一个元素γ与之对应,称为α与β的和,记为βαγ+=;在集合V与数域的元素之间定义一个运算(数量乘积):任给P,kPV∈α∈,在V中有唯一的一个元素δ与之对应,称为与kα的数量乘积,记为αδk=,若上述两个运算满足:任给V∈γβα,,,,klP∈,有(1)αββα+=+,加法的交换律.(2))()(γβαγβα++=++,加法的结合律.(3)中存在一个元素记为0,满足任给VV∈α,都有αα=+0,称为V的零元.(4)任给V∈α,存在一个元素记为α−,满足0)(=−+αα,称为α的负元.(5)αα=1.(6)αα)()(kllk=.(7)αααlklk+=+)(.(8)βαβαkkk+=+)(.称V是数域上的一个线性空间.记为.PPV解释一下这个含义:3高等代数备课资料第六章线性空间(1).:两个运算可以看做是两个映射PVβαβα+→×+),(;:VVV,:;(,)PVVkkαα•×→.(2).定义包含如下几个方面:1)V中定义了两个运算且V关于这两个运算封闭,2)满足条规则.82).例子:1).[],,nnPxPP×n2):次数小于的多项式的全体..[]nPxn1110[]{|}nnniPxaxaxaaP−−=+++∈3)实函数全体.4)PP3).性质.1)零元唯一.任意元素的负元唯一.2)ααα−=−==)1(,00,00k.3)若0=αk,则,或者0=k0=α.4))()()(αλλααλ−=−=−.4高等代数备课资料第六章线性空间§3维数基与坐标1.线性表出,线性相关,线性无关.1)线性表出:设线性空间,取向量组PVsβββ,,,21,取一组数12,,,skkkP∈,sskkkβββ+++2211称为向量组sβββ,,,21的一个线性组合.2)线性相关,线性无关.设向量组sααα,,,21,若存在数域中一组不全为零的数,使得Pskkk,,,2102211=+++sskkkααα,则称向量组sααα,,,21线性相关.若02211=+++sskkkααα,则021====skkk,则称向量组sααα,,,21线性无关.3)等价4)几个结论:(1)一个向量α线性相关⇔0=α.(2)一个向量α线性无关⇔0≠α.(3)含有零元的向量组线性相关.(4)线性无关向量组rααα,,,21可由向量组sβββ,,,21线性表出,则sr≤.(5)可定义向量组的极大无关组,从而有秩的定义.若向量组rααα,,,21可由向量组sβββ,,,21,则),,,(),,,(2121srrrβββααα≤.(6)若向量组sααα,,,21线性无关,βααα,,,,21s线性相关,则向量β可由向量组sααα,,,21线性表出,且表出系数唯一.(7)整体和部分的关系.2.维数,基与坐标例子::,两个向量线性相关.nP1=n2=n,个向量线性相关,不共线的两个向量线性无关.33=n,个向量线性相关,不共面的个向量线性无关.43一般的,在中,个向量线性相关.nP1+n对一个线性空间V,把以上关于的这个特性抽象出来,考察线性空间V中线性无关的向量组成向量组含有向量昀多的向量组所含向量的个数,这个向量组本身的性质等等.nP1)任给一个线性空间V,若V中有个线性无关的向量,但是没有更多数目的线性无关的向量,称V是一个n维线性空间,n称为线性空间V的维数.记为.nVdim若V中可找到任意多个线性无关的向量,则称V是无限维的.解释:(1)有n个线性无关,但是没有更多的意思:设nααα,,,21线性无关,没有更多,即任给向量β,向量组βααα,,,,21n线性相关,则根据已知的结论可知.β可由nααα,,,21线性表出.且表示法唯一.故维数就是线性无关的向量组所含向量的昀多个数.5高等代数备课资料第六章线性空间(2)只要存在n个线性无关的向量即可,可以不唯一.2)基:设,则n个线性无关的向量就称为线性空间V的一组基.nV=dim(1)基不唯一.(2)设nααα,,,21是线性空间V的一组基,任给V∈β,则β可由nααα,,,21线性表出.且表示法唯一.故Vk112212{|nn,,}nkkkkkP=ααα+++∈3)设维线性空间V,nnααα,,,21是V的一组基,任给V∈β,β可由nααα,,,21唯一线性表出.即存在唯一的一组数12,,nkkkP∈,使得nnkkkαααβ+=++2211,就称为向量),,(21nkkkβ在基nααα,,,21下的坐标.定理:若在线性空间V中有n个线性无关的向量nααα,,,21,且V中任一向量都可由nααα,,,21线性表出,则V是n维的,且nααα,,2,1是V的一组基.多说一点:设线性空间,PVnααα,,,21是V中含有个向量的向量组,n(1)nααα,,,21线性无关;(2);(3)中任一向量都可由dimVn=Vnααα,,,21线性表出.则结论是:(1)(2)(3)中任意两条都可得到第三条,从而nααα,,,21是V的一组基.(1)(3)(2):⇒nααα,,,21线性无关,可线性表出V中任一向量,则nααα,,,21是一组基,dimVn=.(1)(2)(3):(1)(2)可知⇒nααα,,,21是V的一组基,从而可线性表出V中任一向量.(2)(3)(1)设⇒12,,,nβββ是V的一组基,则12,,,nβββ可由nααα,,,21线性表出,从而两个向量组等价,故nααα,,,21也线性无关.3.例子:1)取维向量空间:向量nnP),,,(21naaa=α.标准单位向量:)1,0,,0(,),0,,0,1,0(),0,,0,1(21===nεεε就是一组基.且任给),,,(21naaa=α,有nnaaaεεεα+++=2211,坐标可知.)1,0,,0(,),1,,1,1,0(),1,,1,1(21===nηηη也是一组基.任给),,,(21naaa=α,假设nnkkkηηηα+++=2211,即.解为112100110111nnkakaka⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠26高等代数备课资料第六章线性空间11111221221111000100110011000101110011nnnnnnnnaakaaaakaaaakaaaa−−−−⎛⎞⎛⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎠⎝2−⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,即nnnaaaaaηηηα)()(121211−−++−+=.取)1,,1,1(,),0,,0,1,1(),0,,0,1(21===nδδδ,此时nnkkkηηηα+++=2211.若,则1122111011001nnkakaka⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜