边缘分布

二、离散型随机变量的边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布一、边缘分布函数四、小结第二节二维随机变量的边缘分布一、边缘分布函数,},{),(yYxXPyxF},{)(xXPxF}{xXP},{YxXP),(xF)(xFX.),(的边缘分布函数关于XYX?,,),(:的分布如何确定的分布已知YXYX问题XFxPXx二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数,,Fxy而和都是随机变量,XY也有各自的分布函数,分别记为,,XYFxFy变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机,,YFyPYyPXYyFy定义：,PXxY,Fx可通过联合分布函数求极限来确定边缘分布函数。设(X，Y)的分布函数为yxyxyxF,),2)(arctan2(arctan1),(2求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y)．),(lim)(yxFxFyX)]2)(arctan2(arctan1[lim2yxyxxx-,21arctan1)2(arctan12yyyFY-,21arctan1)(例1解：设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为xxjijXipxFxF1),()().,2,1,(},{jipyYxXPijji则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关系得：}{)(xxiXixXPxF又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得：比较可得X的分布律为：ijijippxXP1}{.),(),2,1(),2,1(,,2,1},{,,2,1},{.,2,1,,},{),(11的边缘分布律和关于关于为和分别称记律为的联合分布设二维离散型随机变量YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYXjijiijjijijiijji定义二、离散型随机变量的边缘分布律;,2,1,}{1ipxXPjiji.,2,1,}{1jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21【补充例】已知下列分布律求其边缘分布律.XY1042164212421242910XY1042124212421242610}{iixXPP}{jjyYPP解:747317473例2把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)YX130183800123380018我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.YX130183800123380018jPYyiPXx1838381868281你只要把每列的概率相加放在该列的最下面，把每行的概率相加放在该行的最右面，就大功告成了。把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列和最后一列拿出来就是X的分布。,2,1,0,1iiiXi次摸出黑球第次摸出白球第练习袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记),(21XX试求的联合概率分布和边缘概率分布。152535252535253525352535310101X2X)(2yPX)(1xPX（I）有放回摸球解：（II）无放回摸球)(2yPX10101X2X)(1xPX1425343525342534152525352由此可知：联合分布不能由边缘分布唯一确定，也量的个别性质来确定，还必须考虑它们之间的就是说二维随机向量的性质并不能由它两个分联系。问题:联合分布(函数)与边缘分布(函数)有什么关系?结论:联合分布(函数)边缘分布(函数)但当X与Y相互独立时,联合分布(函数)与边缘分布(函数)可相互确定.X的边缘分布函数.d),()(yyxfxfXX的边缘概率密度.,dd),(),()(xXxyyxfxFxF设(X,Y)为二维连续型随机变量，则三、连续型随机变量的边缘分布xFxftdt同理可得Y的概率密度为：dxyxfyfY),()(我们称dyyxfxfX),()(—(X,Y)关于X的边缘概率密度—(X,Y)关于Y的边缘概率密度显然,由联合概率密度可求得各个边缘概率密度,只需对某一个变量在(-∞,+∞)上积分,但必须注意另一个变量应在全体实数范围内取值.dxyxfyfY),()(参量积分设(X,Y)的概率密度是解求两个边缘密度.其它,00,10),2(524),(xyxxyyxfdyyxfxfX,00,,,.Xxxfxfxydyfxydyfxydyxxy0yx1xxx10,,,,0,0.Xxxyfxyfx或都有故当时当时,01x例3暂时固定),2(5122xx注意取值范围xdyxy0)2(524综上,.,,0,10,25122其它xxxxfXxxyxxy01xx00,,,.Xxxfxfxydyfxydyfxydy当时,01x下面求y的边缘概率密度dxyxfyfY,.0,0,,,,01yfyxfxyyY故都有对时或当.,,,,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyY时当yxyyy11y0yx暂时固定),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它,010),2223(524)(2yyyyyfY综上,注意取值范围求二维随机变量(X,Y)的边缘密度函数的基本方法：2、定出x在密度函数的非零值区域所对应的变化区间。3、在x的变化区间内画一条平行于y轴的直线，1、画出的区域。0),(yxf定出y的积分范围))(),((21xyxyelsebxadyyxfxfxyxyX0),()()()(21xyab例3.4设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为求边缘概率密度fX(x)和fY(y)．解：f(x，y)的非零区域如图:其它,0||,10,1),(xyxyxfdyyxfxfX),()(其它,010,2xxdxyxfyfY),()(其它,010,01,11ydxydxyy其它,010,101,1yyyy其它,010,xdyxx的概率密度为设二维随机变量),(YX2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf.的边缘概率密度试求二维正态随机变量,,yx.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且都是常数其中关于正态分布的量二维正态分布的边缘分布);(21)(21212)(1xexfxX不难求得二维正态分布随机变量的边缘概率密度为:由此可知:二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布,且与参数ρ无关.).(21)(22222)(2yeyfxY请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答),sinsin1(eπ21),(),(222yxyxfYXyx的联合密度函数为令.e21)(,e21)(,),(,2222yYxXyfxfYX但是不服从正态分布显然因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布..d),()(yyxfxfX联合分布边缘分布.d),()(xyxfyfY四、小结.dd),(),()(yYyxyxfyFxF.dd),(),()(xXxyyxfxFxF.)(),(.,0,,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度其他具有联合概率密度和设随机变量解yyxfxfXd),()(练习.,0,10),(62其他xxxxy2xyOxy)1,1(其他01062xdyxxxyxfyfYd),()(.,0,10),(6)(其他得yyyyfYxy2xyOxy)1,1(其他0106ydxyy练习：设二维随机变量（X，Y）的概率密度0(,)0yexyfxy其它.分别求X和Y的密度函数()Xfx和()Yfy.解X的密度函数()Xfx为00()(,),0000yxXxedyxexfxfxydyxxY的密度函数()Yfy为000()(,).0000yyyYedxyyeyfyfxydxyy.,.)(,)(.10,,3,2,1并求边缘分布律的联合分布律和试写出的素数的个数是能整除的正整数的个数是能整除设一个值十个值中取等可能地在一整数FDNNFFNNDDN解1098765432112232424340111121112:布律的联合分布律与边缘分和由此得FD样本点DF☺课堂练习43211010000104102101000102DF}{jFP101107102}{iDP10110410210310121098765432112232424340111121112样本点DF或将边缘分布律表示为Dkp4321101104102103Fkp210101107102或将边缘分布律表示为