武汉理工大学whut08高数A(下)试卷及解答

武汉理工大学考试试题（A卷）课程名称：高等数学A（下）专业班级：2008级理工科专业题号一二三四五六七总分题分1520161616107100备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1.函数(,)zfxy有0000(,),(,)xyfxyfxy存在，则有（）.A．000000(,)(,)(,)xyxydzfxydxfxydyB.0000(,)(,)lim(,)(,)xyxyfxyfxyC．0000(,)(,)lim(,)(,)xxyxyfxyfxyD．00(,)fxy存在2.L是平面上单连通区域G内的光滑曲线，(,),(,)PxyQxy在G内有一阶连续的偏导数，则(,)(,)LPxydxQxydy与路径无关的充要条件是（）.A．PQyxB．PQxyC．0PQxyD．0PQyx3.若D＝222(,)xyxyR，则二重积分D+xydxdy的值是：（）.A．0B．πC．2πD3π4.下列级数中发散的级数是（）.A．1111nnnB．21sinnnnC．1(1)nnnD．31-2+2nnnn5.用待定系数法求微分方程2sin2yyxx的特解时，y的形式可设为（）.A．()sin2()cos2axbxxcxdxxB．()sin2()cos2axbxcxdxC．()sin2axbxxD．()sin2axbx.二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1.函数22Uxxyz在点(1,2,1)处的梯度gradU=.2.L是xoy平面上的曲线：221xy；设ds是曲线长的微元，则曲线积分的计算结果2221Ldsxyz=.3.将二次积分2011(,)xdxfxydy交换积分次序是=.4.函数()fx以2为周期，在(,上0()00xxfxx，将函数()fx展开成周期为2的傅立叶级数,其和函数为()Sx,则(3)S=.5.微分方程212yyxx在条件=10xy下的特解为=y.三、计算题(本题共2小题，每小题8分，满分16分)1.设函数(,)zzxy由方程,zfxyyz所确定，期中f具有连续的正值偏导数，求dz.2.求微分方程24xyyyxe的通解。四、计算题(本题共2小题，每小题8分，满分16分)1.计算密度为的均匀锥面∑：2201zxyz，；对oz轴的转动惯量。2.求幂级数=1(1)nnnx的收敛域及和函数，并求数项级数=12nnn的和。五、计算题(本题共2小题，每小题8分，满分16分)1.用格林公式计算(sin5)(cos5)xxLeyydxeydy，其中L是从点（2，0）沿椭圆22149xy至点（0，3）的小弧段。2.用高斯公式计算252(1)xzdydzyzdzdxzdxdy，其中是曲面22zxy与1z围成的空间立体的表面外侧。六、应用题(10分)研究并求出空间曲线222:1zxyxy上的点到xoy坐标平面的最长、最短的距离。七、证明题(本题满分7分)设函数()Fxyz，，有一阶连续的偏导数，且(111)=0F，，。证明在空间曲面()0Fxyz：，，上过点A（1，1，1）的任意一条在A点切线存在的曲线，在A点处的切向量都与一个定向量垂直。试卷解答：一、D、D、A、A、B．二、1.（4，1，-2）；2.2；3.100(,)ydyfxydx;4.2;5.3yxx.三、1.1122211fffdzdxdyff2.特征根121,2rr。对应齐次方程的通解：212xxycece。设非齐次方程的解为：()xyaxbe代入方程得到：a=2,b=1.原方程得通解是：212(21)xxxycecexe。四、1．对z轴的转动惯量为22()zIxydS=22221()2xyxydxdy=21300222drdr2．收敛域：（0，2）令x-1=t,则111()(1)nnnnnnTtntntt，而1111nntt，211(1)1(1)nnntt，2()(1)tTtt。和函数21()(1)(0,2)(2)xSxTxxx13()222nnnS。五、1．加有向线段BO、OA。其中B（0，3）、O（0，0）、A（2，0）,设曲线L+BO+OA所包围的平面区域为D。原式=(sin5)(cos5)xxLBOOAeyydxeydy-(sin5)(cos5)xxBOeyydxeydy-(sin5)(cos5)xxOAeyydxeydy=30155(cos5)sin3152Ddxdyydy。2．原式=1203zdVzdz六、法一：由于0z，设22(2)(1)Lzzxyxy令：224020102010xyzLxLyLLzxyLxy解得唯一点：122(,,)333根据问题的几何特征最大距离是+∞，最小距离是（2/3）法二：过曲线平行于y轴的投影柱面是:2321zxx,开口向z正半轴的抛物柱面，原问题可以转化成，求xoz平面上的投影曲线到x轴的最大、最小距离。最大距离是+∞。最小距离就是函数2321zxx的最小值。2321zxx，62zx令62zx=0解得：13x。曲线上点122(,,)333到xoy平面的距离最小，最小距离是（2/3）。七、设曲面上过A点的任意一条曲线为L：()()()xxtyytzzt，A点对应的参变量0tt；则有：((),(),())0Fxtytzt，且()()()()()(()0xyzAFxtFytFzt。即：000(1,1,1)()(1,1,1)()(1,1,1)()0xyzFxtFytFzt。由L的任意性可证结论成立。