高考数学的解题研究-罗增儒

第1页共41页高考数学的解题研究（陕西师范大学数学系罗增儒）1从数学高考到高考数学从1977年恢复高考（各省单独命题）到2006年陕西高考单独命题，历史走过了波澜壮阔的30个春秋，环绕着高考工作的文化积累正在考试学、数学等维度形成学术成果。1-1数学高考（1）数学高考的性质●毕业考是基础教育的终点，高考是高等教育的起点.●水平考试与选拔考试（有竞争）●平时教学按教学规律进行，高考复习按考试规律进行.（2）数学高考命题的风格高考命题一直在“稳中求进，稳中求变、稳中求新”，探索公平选拔、为素质教育服务的道路，已形成了一些稳定性的风格和值得注意的导向.●在明确考查“三基四能力”的基础上，更突出数学思想方法的考查，突出数学与现实生活的联系.●在主体上考查中学数学的同时，体现进一步学习高等数学的需要.特别是一些有挑战性的压轴题，尤其各省独立命题之后，“注重理论数学，检测考生后继学习的潜能”（有人看到了高考与竞赛的相互渗透）.●新课程理念的渗透.虽然新世纪课程改革刚刚起步（高中教材才开始试用），但其三维目标和十个基本理念已开始渗透（课程改革第2页共41页改到哪里，高考改革也改到哪里）.如，命题范围拓展了，出现人文关怀，体现“情感、态度、价值观”课程目标.●在命题技术上，可以看到：①以教材为依据，又不拘泥于教材.②在知识交汇处设计命题.③能力立意.改变了过去的知识立意.④减少题量，降低难度，增加学生分析思考的时间.⑤对三类题型设计了两个从易到难的三个小高潮.⑥变小量难题把关为全卷把关.⑦试题切入容易深入难（阶梯题）.⑧避免死记硬背的内容和繁琐的运算（试卷提供难记易忘的公式）.⑨文理分卷，难度有区别（姐妹题）.研究或了解高考命题的动向，能使我们的高考指导工作思想更明确，操作更有针对性.●平稳过渡，降低难度；控制满分，提高总分；总体形似，少量创新；（3）数学高考复习的组织①指导思想●以考试规律为指导,以近年高考命题的稳定性风格为导向.●依纲靠本.●以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本第3页共41页素材.②高考复课的三阶段安排已经是一个常规，第一阶段全面复习第二阶段专题讲座，第三阶段模拟训练.其实质应是思维素质竖向提升的三个层次，是从知识到方法、到能力的拾级登高.（4）数学复习题的编拟（5）数学模拟考试的组织与讲评（6）数学高考临场的策略①高考临场的基本建议●保持内紧外松的临战状态.●使用适应高考的答题策略.●运用应对选拔的考试技术.②高考答题的技术●提前进入角色.●迅速摸清“题情”.●执行“三个循环”.●做到“四先四后”.●答题“一慢一快”.●立足中下题目，力争高上水平.●立足一次成功，重视复查环节.第4页共41页●内紧外松.③从解题策略到分段得分●分解分步——缺步解答.●引理思想——跳步解答.●以退求进——退步解答.●正难则反——倒步解答.●扫清外围——辅助解答.（7）高考填报志愿.●升学优先.●就业优先.●专业优先.把个人兴趣、●成本优先.把收费较低、●地区优先.●几项兼顾.●家长决定.（8）……如高考无效题的研究例1已知18log92,aa185b，求36log45.（1978年，2a多余，用,ab表示，不唯一）例2抛物线的方程是22yx，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动，问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（1980年）例3设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的第5页共41页必要条件，那么丁是甲（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件（1986年）例4一个正三棱台的下底与上底周长分别为30㎝,12㎝,侧面积等于两底面积之差，求斜高.（1987年，高为零）例5如果函数sin()cos()yxx的最小正周期是4，那么常数为（）.（1992年,默认0）例6已知直线1l和2l的夹角的平分线为,yx如果1l的方程是0axbyc，0ab.那么2l的方程是（A）0bxayc（B）0axbyc（C）0bxayc（D）0bxayc（1992年，不可能平分）例7设142xxfx，则10f.（1993年23题）例8设I为全集，集合,MNI，若MNN，则（）.（A）MN（B）MN（C）MN（D）MN（1995年）例9设等比数列na的前n项和为nS，若3692SSS，求数列的公比q（1996年文史21）（实数还是复数？）例10如果函数abxaxy2的图象与x轴有两个交点，则点（ba,）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）第6页共41页（2003年，标准答案（图C））．例11下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所组成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所组成的角都相等，且侧面与底面所组成的二面角都相等的三棱锥市政三棱锥．其中，真命题的编号是____________（写出所有真命题的编号）（2005年全国文科（16）题，答案为①、④）例12fx是定义在R上的以3为周期的奇函数，且20,f则方程0fx在区间0,6内解的个数的最小值是（A）2（B）3（C）4（D）5（2005年福建）例13已知向量2cos,tan(),224xxa第7页共41页2sin(),tan(),2424xxb令.fxab是否存在实数0,1,x使/0fxfx？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.（2005年江西）例141-2高考数学（1）高考数学的特征（2）数学高考试题的由来（3）数学高考解题的特点（4）数学高考选择题的求解（5）数学高考填空题的求解（6）数学高考解答题的求解（7）数学高考解题的错误分析（解对了也会有策略性错误）（8）……2数学高考解题的案例分析用教育叙事的方式进行解题经验的积累与提炼。2-1案例1—2006陕西理-2的讨论知识基础例1复数2(1)1ii等于（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i第8页共41页解法1：先处理分母22(1)1(1)1111iiiiiii解法2：先处理分子2(1)211111iiiiiii解法3：分子分母乘以i222(1)(1)(1)(1)1(1)1iiiiiiiiiii解法4：分母提取i22(1)(1)1111iiiiiiii解法5：分子提取i22(1)(1)(1)11iiiiiii解法6：用恒等式22110ii解法7：用i的定义，1111iiiii解法8：倒推，把四个选项代入验证（结论也是已知信息）（A）2211?ii（B）2111?iii（C）2211ii（D）2111?iii解法9：辐角象限的直观选择（结论也是已知信息）第9页共41页解法10……2-2案例2—2006陕西理-8的讨论逻辑基础例1已知不等式19axyxy对任意正实数,xy恒成立，则正实数a的最小值为（A）2（B）4（C）6（D）8这是一道不等式恒成立的参数确定问题，结论似乎不难得出，但解题依据却未必能说清楚．2-2-1多种解法的思考解法1条件变形后，应用二元均值不等式.1axyxy①112yaxaxyaa21,a②于是，只要219a4a，得a的最小值为4.选（B）.解法2.条件变形后，应用三元均值不等式.第10页共41页11axyxyyaxaxy313yaxaxy③3213,a④于是，只要32161396,9aa得a的最小值为163,9选择支无一为所求.解法3条件变形后，应用四元均值不等式.11axyxyyaxaxy4414,yaxaxya于是，只要8149,16aa得a的最小值为8115.1616选择支无一为所求.解法4应用二元均值不等式消去,xy，有第11页共41页1224,aaxyxyaxyxy于是，只要8149,16aa得a的最小值为8115.1616选择支无一为所求.解法5由19axyxy229xyyaxaxyxy228,axyaxyxy得等号成立的条件是222,28,axyaxyaa解方程得4a，得a的最小值为4.选（B）.解法6同上有228axyaxyxy222233axyaxyaxyaxy得32163869aa2-2-2思考：错在那里？原因是什么？第12页共41页（1）选择支设计的典型性：2，6，8是本题的典型错误吗？（2）为什么用不同的均值不等式会得出不同的结果？哪些解法是对的？哪些解法是错的？（3）对faga能否说当等号成立时fa取最小值.？为什么由1axyxy≥21a，能推出21a≥9？（4）不等式1axyxy≥21a，1axyxy313yaxaxy3213,a1axyxy441yaxaxy4,a能取等号码？对任意正实数,xy恒成立吗？（5）设ytytxx，有1axyxy第13页共41页1()(1)11,axtxxtxattaatt一般地，函数1agtatt的最小值与定义域有关.请思考例2221xcfxxc（c为非负常数），2211xcfxx（c为非负常数的最小值？2-2-3.解法解法7转化为1min9axyxy.由条件变形后配方有1axyxy2211yaxaxyyaxaxy21,a当yaxyaxxy时，函数,Fxy=1axyxy取到最小值21,a故有219a，第14页共41页得4a，故a的最小值为4.选（B）.说明这个解法的实质步骤是用二维柯西不等式求1axyxy的最小值.解法8转化为2244.xyamaxxxy由19axyxy22284xyxyyaxxyxxy得，不等式对任意正实数,xy恒成立，因而2244.xyamaxxxy当2yx时，正实数a取最小值4.选（B）.解法9由1axyxy1yaxaxy把2,4,6,8a依次代入22123322yxyxxyxy不能对任意正实数,xy恒大于9（2yx就不成立）.4414554yxyxxyxy，可以保证对任意正实数,xy恒大于9.故得a的最小值为4.选（B）.第15页共41页2-3案例3—2006陕西理-19的讨论模式识别这是一道常规立体几何题，对学生来说情境并不陌生，课本有这样的原型（人教版《数学》第二册下A第40页），近年高考有“形似题”．它的求解体现了高考解题的基本策略(模式识别)：●化归为课本已经解决过的问题.●化归为往届高考题.例1如图1，,,,,lAB点A在直线l上的射影为1A，点B在直线l上的射影为1.B已知2AB，111,2AABB，求：小；（1）直线AB分别与平面,所成角的大图1（2）二面角11AABB的大小.这道题目的