三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

13.4函数sin()yAx的图象与变换【知识网络】1．函数sin()yAx的实际意义；２．函数sin()yAx图象的变换（平移平换与伸缩变换）【典型例题】［例1］(1)函数3sin()226xy的振幅是；周期是；频率是；相位是；初相是．（１）32；14；26x；6（2）函数2sin(2)3yx的对称中心是；对称轴方程是；单调增区间是．（２）(,0),26kkZ；5,212kxkZ；5,1212kkkz(3)将函数sin(0)yx的图象按向量,06a平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A．sin()6yxB．sin()6yxC．sin(2)3yxD．sin(2)3yx（３）C提示：将函数sin(0)yx的图象按向量,06a平移，平移后的图象所对应的解析式为sin()6yx，由图象知，73()1262，所以2．(4)为了得到函数Rxxy),63sin(2的图像，只需把函数Rxxy,sin2的图像上所有的点（）（A）向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（B）向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C）向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）2（D）向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（４）C先将Rxxy,sin2的图象向左平移6个单位长度，得到函数2sin(),6yxxR的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数Rxxy),63sin(2的图像(5)将函数xxfysin)(的图象向右平移4个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数xy2sin21的图象，则)(xf的表达式是（）（A）xcos（B）xcos2（C）xsin（D）xsin2（５）B提示:212sincos2yxx的图象关于x轴对称的曲线是cos2yx,向左平移4得cos2()sin24yxx2sincosxx［例2］已知函数2()2cos3sin2,(01)fxxx其中，若直线3x为其一条对称轴。（1）试求的值（2）作出函数()fx在区间[,]上的图象．解：（1）2()2cos3sin21cos23sin2fxxxxx2sin(2)16x3x是()yfx的一条对称轴2sin()1362,362kkZ13()22kkZ1012（2）用五点作图［例3］已知函数2()sin()(0,0,0)2fxAxA，且()yfx的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）．（I）求；（II）计算(1)(2)(2008)fff．解：（I）2sin()cos(22).22AAyAxx()yfx的最大值为2，0A.2,2.22AAA又其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，12()2,.22422()cos(2)1cos(2)2222fxxx.()yfx过(1,2)点，3cos(2)1.222,,2kkZ22,,2kkZ,,4kkZ又0,24.（II）4，1cos()1sin.222yxx(1)(2)(3)(4)21014ffff.又()yfx的周期为4，20084502，(1)(2)(2008)45022008.fff［例4］设函数2()3cossincosfxxxxa（其中0,aR）。且()fx的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是6．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果()fx在区间5[,]36上的最小值为3，求a的值．解：（I）3133()cos2sin2sin(2)22232fxxxxa依题意得126322．（II）由（I）知，3()sin()32fxx．又当5[,]36x时，7[0,]36x，故1sin()123x，从而()fx在区间π5π36，上的最小值为13322a，故31.2a【课内练习】1.若把一个函数的图象按a（3，－2）平移后得到函数xycos的图象，则原图象的函数解析式是（）（A）2)3cos(xy（B）2)3cos(xy（C）2)3cos(xy（D）2)3cos(xy１．D提示：将函数xycos的图象按a平移可得原图象的函数解析式42．为了得到函数y=sin（2x－6π）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A.向右平移6π个单位长度B.向右平移3π个单位长度C.向左平移6π个单位长度D.向左平移3π个单位长度２．B提示：∵y=sin（2x－6π）=cos［2π－（2x－6π）］=cos（3π2－2x）=cos（2x－3π2）=cos［2（x－3π）］，∴将函数y=cos2x的图象向右平移3π个单位长度3．若函数f（x）=sin（ωx+）的图象（部分）如下图所示，则ω和的取值是（）xy2O33-1A.ω=1，=3πB.ω=1，=－3πC.ω=21，=6πD.ω=21，=－6π３．C提示：由图象知，T=4（3π2+3π）=4π=π2，∴ω=21.又当x=3π2时，y=1，∴sin（21×3π2+）=1，3π+=2kπ+2π，k∈Z，当k=0时，=6π.4．函数sin2yx的图象向右平移（0）个单位，得到的图象关于直线6x对称，则的最小值为（）()A512()B116()C1112()D以上都不对４．A提示：平移后解析式为sin(22)yx，图象关于6x对称，∴2262k（kZ），∴212k（kZ），∴当1k时，的最小值为512．5．若函数()fx图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移2个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin2yx的图象，则()fx．５．()fx11sin(2)3cos23222xx．６．函数sin(),(0,0)yAxA为奇函数的充要条件是；为偶函数的充要条件是．６．()kkZ；()2kkZ57．一正弦曲线的一个最高点为1(,3)4，从相邻的最低点到这最高点的图象交x轴于1(,0)4，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为.７．3sin()4yx８．已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有两解，求k的取值范围解：原方程sinx+cosx=k2sin（x+4π）=k，在同一坐标系内作函数y1=2sin（x+4π）与y2=k的图象.对于y=2sin（x+4π），令x=0，得y=1.∴当k∈［1，2］时，观察知两曲线xyy12=k44-3O在［0，π］上有两交点，方程有两解9．数)2||,0,0(),sin(AxAy的最小值是2，其图象相邻最高点与最低点横坐标差是3，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。解：易知：A=2半周期32T∴T=6即62从而：31设：)31sin(2xy令x=0有1sin2又：2||∴6∴所求函数解析式为)631sin(2xy10．已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x=31时，2)(maxxf.（1）求f（x）.（2）在闭区间［421，423］上是否存在f（x）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.解：（1）由22,T得()sincosfxAxBx由题意可得22sincos2332ABAB解得31AB()3sincos2sin()6fxxxx（2）令,62xkkZ所以1,3xkkZ6由21123434k得59651212k5k所以在［421，423］上只有f（x）的一条对称轴x=316作业本A组1．将函数5sin(3)yx的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3，得到图象对应解析式是（）()A335sin()22xy()B735sin()102xy（C）35sin()22xy（D）5sin(26)yx１．A２．已知函数sin()yAx在同一周期内，当9x时，取得最大值12，当49x时，取得最小值12，则该函数的解析式是（）()A12sin()36yx()B1sin(3)26yx()C1sin(3)26yx()D1sin(3)26yx２．Ｂ提示：代入验证3．要得到函数xycos2的图象，只需将函数)42sin(2xy的图象上所有的点的()A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动4个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动8个单位长度C．横坐标缩短到原来的21倍，再向右平行移动4个单位长度D．横坐标缩短到原来的21倍,再向左平行移动8个单位长度３．Ａ7４．函数y=21sin（4π－32x）的单调减区间是．４．［3kπ－8π3，3kπ+8π9］，()kZ5．已知函数sin()yAx（0,||A）的一段图象如下图所示，则函数的解析式为．５．32sin(2)4yx提示：由图得32,()2882TA，∴T，∴2，∴2sin(2)yx，又∵图象经过点(,2)8，∴22sin()4，∴242k（kZ），∴324k，∴346、已知函数2()2cossin()3sinsincos23fxxxxxx（xR），该函数的图象可由sinyx（xR）的图象经过怎样的变换得到？解：213()2cos(sincos)3cossincos222fxxxxxxx222sincos3(cossin)2xxxxsin23cos222sin(2)23xxx①由sinyx的图象向左平移3个单位得sin()3yx图象，②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12得sin(2)3yx图象，③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得2sin(2)3yx图象，④最后将所得图象向上平移2个单位得2sin(2)23yx的图象．说明：（1）本题的关键在于化简得到2sin(2)23yx的形式；（2）若在水平方向先伸缩再平移，则要向左平移6个单位了．７．求函数227()53cos3sin4sincos()424fxxxxxx的最小值，求其单调区间．解：22()53cos3sin4sincosfxxxxx23cos22sin233xx4cos(2)336x因7424x，故232364x，所以()fx的最小值为33223882208单调递减区间为7,424８．若函数()2sincos2(sincos)fxaxxaxxab的定义域为[0,]2，值域为[5,1]，求,ab的值．解：令sinco